フールマン円

ユークリッド幾何学において、フールマン円(ふーるまんえん、英: Fuhrmann circle)とはドイツの数学者ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点 $N$ と垂心 $H$ を直径とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある^[1]。フールマン円の中心は「Encyclopedia of Triangle Centers」においてX(355)として登録されている^[2]。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ a,b,c、内角をそれぞれ A,B,C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 $R_{F}$ は

{\begin{aligned}R_{F}&={\sqrt {R(R-2r)}}\\&=R{\sqrt {3-2(\cos A+\cos B+\cos C)}}\\&=R{\sqrt {1-{\frac {8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}}}\\&={\sqrt {{\frac {abc\,}{2s}}\left\{{\frac {abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}}-1\right\}}}\\\end{aligned}}

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である^[3]。

一般化編集

$△ ABC$ について点 $P$ の外周三角形を $△ A'B'C'$ とする。また、 $A',B',C'$ をそれぞれ $BC,CA,AB$ で鏡映した点を $P a,P b,P c$ とする。 $△P a P b P c$ の外接円を $P$ のヘギー円(Hagge circle)と言う^[4]^[5]。名称はカール・ヘギーに由来する。 $P$ が内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす^[6]。

ヘギー円は垂心を通る。
$P$ の等角共役点 $P*$ と $P$ のヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
ヘギー円の半径は $P*$ と外心の距離に等しい。
垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、 $P*$ は共線である。

注釈編集

^ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).
^ “Encyclopedia of Triangle Centers”. エヴァンズビル大学. 2024年3月13日閲覧。
^ “The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle”. Forum Geometricorum. 2024年3月26日閲覧。
^ “The Hagge Circle - Wolfram Demonstrations Project”. demonstrations.wolfram.com. 2024年3月31日閲覧。
^ “On a Construction of Hagge”. Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith. 2024年4月1日閲覧。
^ “The Story of Hagge and Speckman”. Christopher J Bradley. 2024年4月1日閲覧。

参考文献編集

Nguyen Thanh Dung: "The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle". Forum Geometricorum, Volume 16 (2016), pp. 299–311.
J. A. Scott: An Eight-Point Circle. In: The Mathematical Gazette, Volume 86, No. 506 (Jul., 2002), pp. 326–328 (JSTOR)

外部リンク編集

Doug Westmoreland. “Fuhrmann circle”. the University of Georgia. 2024年3月21日閲覧。
Weisstein, Eric W. "Fuhrmann Circle". mathworld.wolfram.com (英語).

[1] Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, pp. 228–229, 300 (originally published 1929 with Houghton Mifflin Company (Boston) as Modern Geometry).

[2] “Encyclopedia of Triangle Centers”. エヴァンズビル大学. 2024年3月13日閲覧。

[3] “The Feuerbach Point and the Fuhrmann Triangle”. Forum Geometricorum. 2024年3月26日閲覧。

[4] “The Hagge Circle - Wolfram Demonstrations Project”. demonstrations.wolfram.com. 2024年3月31日閲覧。

[5] “On a Construction of Hagge”. Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith. 2024年4月1日閲覧。

[6] “The Story of Hagge and Speckman”. Christopher J Bradley. 2024年4月1日閲覧。

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フールマン円

一般化 編集

注釈 編集

参考文献 編集

外部リンク 編集

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参考文献編集

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