ミルナーのK理論

ミルナーのK-理論(Milnor K-theory)は、高次代数的K-理論を定義する初期の試みであり、 Milnor (1970) により導入された。

定義

体 F の K₂ の計算により、ミルナーは「高次」K-群の次の定義を発見した。

$K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a))\ .$

このように、a ≠ 0, 1 により生成された両側イデアル(two-sided ideal)による乗法群 F^× のテンソル代数の商の次数付き部分である。n = 0, 1, 2 に対しては、これらは体のキレン(Quillen)の K-群に一致するが、n ≧ 3 に対しては一般には同値にならない。記号 $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ を $a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}$ の像として定義すると、n = 2 は、シュタインバーグの記号(Steinberg symbol)である。

テンソル代数のテンソル積は、$K_{*}^{M}(F)$ を次数付き可換(graded-commutative)である次数付き環とする積 $K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}$ を導く。

例

例えば、n ≧ 2; に対し、$K_{n}^{M}(\mathbb {F} _{q})=0$である。$K_{2}^{M}(\mathbb {C} )$ は一意な非可算剰余群であり、$K_{2}^{M}(\mathbb {R} )$ は一意的な非可算剰余群と位数 2 の巡回群の直和である。$K_{2}^{M}(\mathbb {Q} _{p})$ は $\mathbb {F} _{p}$ の乗法群と非可算な剰余群の直和である。すべての奇素数 $p$ に対し、位数 $p-1$ の巡回群と位数 2 の巡回群の直和である。

応用

ミルナーのK-理論は、高次類体論で基本的な役割を果たし、1-次元類体論では、$K_{1}^{M}$ を変更する。

ミルナーのK-理論 modulo 2 は、k_*(F) と書かれ、ミルナー予想により、体 F のエタールコホモロジーとガロアコホモロジーへ関連付けられる。この事実はウラジーミル・ヴォエヴォドスキーにより証明された。 ミルナー予想の一般化であるブロック・加藤の予想（ノルム剰余同型定理）は、ヴォエヴォドスキーにより証明された。この証明にはマーカス・ロストらの結果が重要な役割を果たしている。

次のように記号を使うと、k_n(F) から F のヴィット環(Witt ring)への準同型が存在する。

$\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\mapsto \langle \langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,a_{1}\rangle \otimes \langle 1,a_{2}\rangle \otimes ...\otimes \langle 1,a_{n}\rangle \ ,$

ここに像は、次元 2ⁿ のフィスター形式(Pfister form)である。像は Iⁿ/Iⁿ⁺¹ としてとることが可能で、写像はフィスター形式が加法的に Iⁿ を生成するので全射である。ミルナー予想は、これらの写像は同型であるということと解釈することができる。

参考文献

• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR2104929. Zbl 1068.11023 
• Milnor, John Willard (1970), With an appendix by J. Tate, “Algebraic K-theory and quadratic forms”, Inventiones Mathematicae 9: 318–344, doi:10.1007/BF01425486, ISSN 0020-9910, MR0260844, Zbl 0199.55501 
• Voevodsky, Vladimir (2011). “On motivic cohomology with $\mathbb {Z} /\ell$-coefficients”. Annals of Mathematics 174 (1): 401–438. arXiv:0805.4430. doi:10.4007/annals.2011.174.1.11. MR2811603. 

進んだ文献

• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X, Zbl 1103.12002