ミルナーのK-理論(Milnor K-theory)は、高次代数的K-理論を定義する初期の試みであり、 Milnor (1970) により導入された。

定義

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体 F の K2 の計算により、ミルナーは「高次」K-群の次の定義を発見した。

 

このように、a ≠ 0, 1 により生成された両側イデアル(two-sided ideal)による乗法群 F×テンソル代数の商の次数付き部分である。n = 0, 1, 2 に対しては、これらは体のキレン(Quillen)の K-群に一致するが、n ≧ 3 に対しては一般には同値にならない。記号    の像として定義すると、n = 2 は、シュタインバーグの記号英語版(Steinberg symbol)である[1]

テンソル代数のテンソル積は、 次数付き可換英語版(graded-commutative)である次数付き環とする積   を導く[2]

例えば、n ≧ 2; に対し、 である。  は一意な非可算剰余群であり、  は一意的な非可算剰余群と位数 2 の巡回群の直和である。   の乗法群と非可算な剰余群の直和である。すべての奇素数   に対し、位数   の巡回群と位数 2 の巡回群の直和である。

応用

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ミルナーのK-理論は、高次類体論で基本的な役割を果たし、1-次元類体論では、  を変更する。

ミルナーのK-理論 modulo 2 は、k*(F) と書かれ、ミルナー予想により、体 F のエタールコホモロジーガロアコホモロジーへ関連付けられる。この事実はウラジーミル・ヴォエヴォドスキーにより証明された。 ミルナー予想の一般化であるブロック・加藤の予想(ノルム剰余同型定理)は、ヴォエヴォドスキーにより証明された。この証明にはマーカス・ロスト英語版らの結果が重要な役割を果たしている[3]

次のように記号を使うと、kn(F) から F のヴィット環英語版(Witt ring)への準同型が存在する。

 

ここに像は、次元 2nフィスター形式英語版(Pfister form)である[1]。像は In/In+1 としてとることが可能で、写像はフィスター形式が加法的に In を生成するので全射である[4]。ミルナー予想は、これらの写像は同型であるということと解釈することができる。

参考文献

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  1. ^ a b Lam (2005) p.366
  2. ^ Gille & Szamuely (2006) p.184
  3. ^ Voevodsky 2011.
  4. ^ Lam (2005) p.316
  • Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 
  • Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR2104929. Zbl 1068.11023 
  • Milnor, John Willard (1970), With an appendix by J. Tate, “Algebraic K-theory and quadratic forms”, Inventiones Mathematicae 9: 318–344, doi:10.1007/BF01425486, ISSN 0020-9910, MR0260844, Zbl 0199.55501 
  • Voevodsky, Vladimir (2011). “On motivic cohomology with  -coefficients”. Annals of Mathematics 174 (1): 401–438. arXiv:0805.4430. doi:10.4007/annals.2011.174.1.11. MR2811603. 

進んだ文献

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