立方数

ある数の三乗となる数

立方数りっぽうすう: cubic number)とは、図形数の一種であり、[注釈 1]整数3乗となる数である[1](例:8 = 23 = 2 × 2 × 2)。図形的には1辺の長さが n正六面体(立方体)の体積が立方数 n3 = n × n × n に対応する。

最小の立方数は 1 であり、小さい順に列記すると 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, … である(オンライン整数列大辞典の数列 A578)。

立方数の性質 編集

1を除く全ての立方数は、連続する2つの平方数の差として表される。

 

立方数の列の第2階差数列は公差 6等差数列であり、第3階差数列は定数列 6である。したがって立方数の列は3階等差数列である。

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。

立方数のうち平方数でもある数は n6 と表せる。また、約数を7個持つ数は全て素数を6乗した数である。

立方数の和 編集

  • 1 から n 番目の立方数 n3 までのn 番目の三角数の2乗に等しい[注釈 2] 
  • 立方数の逆数和は次の値に収束する: 
  • すべての自然数は9個以下の立方数の和として表される(ウェアリングの問題
    • このうち丁度9個の立方数の和で表される数は 23, 239 だけである
  • 2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は 1729 = 123 + 13 = 103 + 93 である
    • 負の整数を含めると絶対値最小は 91 = 33 + 43 = 63 + (−5)3(ただし 0, 1 は除く)

関連項目 編集

脚注 編集

注釈 編集

  1. ^ 0 を含めるかは文献によって異なる。例えば MathWorld“Cubic Number” の項では正の整数に限っている。一方で OEIS A578 では 0 を含む定義になっている。
  2. ^ この性質は視覚的に証明が可能である。PROBLEM COLLECTION”. 2015年3月12日閲覧。

出典 編集

参考文献 編集

  • Weisstein, Eric W. "Cubic Number". mathworld.wolfram.com (英語).