等速円運動の運動方程式 編集 物体が xy 平面上で原点 O を中心とする半径 r の円運動を行うとする。
物体の位置を点Pとした時の、x軸とOPのなす角を
θ
{\displaystyle \theta }
x 、y 座標は、
x
=
r
cos
θ
,
y
=
r
sin
θ
{\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta \,}
となる。(1-i) 式を時間t で微分 すると、
d
x
d
t
=
−
r
θ
˙
sin
θ
,
d
y
d
t
=
r
θ
˙
cos
θ
{\displaystyle {dx \over dt}=-r{\dot {\theta }}\sin \theta ,\ {dy \over dt}=r{\dot {\theta }}\cos \theta }
が得られる。
θ
˙
{\displaystyle {\dot {\theta }}}
角速度 という。
θ
˙
{\displaystyle {\dot {\theta }}}
等速円運動 という。この一定値を
ω
{\displaystyle \omega }
θ
˙
=
ω
{\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega }
θ
=
ω
t
+
α
{\displaystyle \theta =\omega t+\alpha }
ｔ について積分 している。
α
{\displaystyle \alpha }
積分定数 で、物理でいうと初期条件 であり、この場合は初期位相 ）といえる。(1-i)、(1-ii) より、
x
=
r
cos
(
ω
t
+
α
)
,
y
=
r
sin
(
ω
t
+
α
)
{\displaystyle x=r\cos(\omega t+\alpha ),\ y=r\sin(\omega t+\alpha )}
x
˙
=
−
r
ω
sin
(
ω
t
+
α
)
,
y
˙
=
r
ω
cos
(
ω
t
+
α
)
{\displaystyle {\dot {x}}=-r\omega \sin(\omega t+\alpha ),\ {\dot {y}}=r\omega \cos(\omega t+\alpha )}
となり、(1-iv) から物体の速さ v は x 、y それぞれの速度成分を
v
x
{\displaystyle v_{x}}
v
y
{\displaystyle v_{y}}
{
v
x
=
−
r
ω
sin
(
ω
t
+
α
)
v
y
=
r
ω
cos
(
ω
t
+
α
)
{\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=-r\omega \sin(\omega t+\alpha )\\v_{y}=r\omega \cos(\omega t+\alpha )\end{cases}}}
と表すことができ、
v
2
=
v
x
2
+
v
y
2
{\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}
v
2
=
r
2
ω
2
{\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=r^{2}\omega ^{2}}
v は次のように表される。
|
v
|
=
r
|
ω
|
{\displaystyle |\mathbf {v} |=r\left|\omega \right|}
(1-v) をさらに t で微分すると、
d
2
x
d
t
2
=
−
ω
2
x
,
d
2
y
d
t
2
=
−
ω
2
y
{\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-\omega ^{2}x,\ {d^{2}y \over dt^{2}}=-\omega ^{2}y}
加速度 a は、
a
2
=
a
x
2
+
a
y
2
{\displaystyle \mathbf {a} ^{2}=a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}
a と半径 r には次の関係が成り立つ。
|
a
|
=
ω
2
r
{\displaystyle |\mathbf {a} |=\omega ^{2}r\,}
等速円運動の向心力 編集 物体に働く力 F は、質量をm 、加速度をa とすると、ニュートン の運動の第二法則 により、
F
=
m
a
{\displaystyle F=ma}
r ）の中心に向って大きさ
F
=
m
ω
2
r
{\displaystyle F=m\omega ^{2}r}
の力が働く。
等速円運動の物理 編集 物体が円軌道を一周するのに要する時間を周期 T といい、角速度をω とするとT は
T
=
2
π
ω
{\displaystyle T={2\pi \over \omega }}
とあらわされる。また、単位時間当たりに回転する回数を回転速度 (あるいは角振動数 ) f といい、f は
f
=
ω
2
π
{\displaystyle f={\omega \over 2\pi }}
(1-ix) 式より、(1-x) 式は
f
=
1
T
{\displaystyle f={1 \over T}}
とあらわされる。
振動運動との対応 編集 回転運動を回転面上の観測者が真横から見ると物体は単振動 しているように見える。あるいは、物体のｘ座標とｙ座標は互いに位相が90度=π/２ずれた単振動を行っている。
振動運動 では回転速度のことを周波数
物体が半径一定で等速ではない円運動をする場合、物体にはたらく力は円の中心を向かず、
速度
v
{\displaystyle v}
ω
{\displaystyle \omega }
速度の導出 編集 (1-ii)より、
v
=
r
θ
˙
(
−
sin
θ
,
cos
θ
)
{\displaystyle \mathbf {v} =r{\dot {\theta }}\left(-\sin \theta ,\cos \theta \right)}
と、まとめることができるので、大きさ
|
v
|
{\displaystyle |\mathbf {v} |}
|
v
|
=
r
|
θ
˙
|
{\displaystyle |\mathbf {v} |=r|{\dot {\theta }}|}
である。
また、速度の方向を求めるために、速度 ベクトルと位置ベクトル の内積をとると
v
⋅
r
=
(
−
r
θ
˙
sin
θ
)
⋅
(
r
cos
θ
)
+
(
r
θ
˙
cos
θ
)
⋅
(
r
sin
θ
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {r} =(-r{\dot {\theta }}\sin \theta )\cdot (r\cos \theta )+(r{\dot {\theta }}\cos \theta )\cdot (r\sin \theta )=0}
であるため、位置ベクトルと直交する方向、すなわち接線方向であることが分かる。
同時に、向心方向の速度成分が
0
{\displaystyle 0}
加速度の導出 編集 次に加速度
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
θ
{\displaystyle \theta }
t
{\displaystyle t}
t
{\displaystyle t}
d
2
x
d
t
2
=
−
r
θ
˙
2
cos
θ
−
r
θ
¨
sin
θ
,
d
2
y
d
t
2
=
−
r
θ
˙
2
sin
θ
+
r
θ
¨
cos
θ
{\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-r{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -r{\ddot {\theta }}\sin \theta ,\ {d^{2}y \over dt^{2}}=-r{\dot {\theta }}^{2}\sin \theta +r{\ddot {\theta }}\cos \theta }
が得られる。
θ
¨
{\displaystyle {\ddot {\theta }}}
角加速度 という。
a
=
(
x
¨
,
y
¨
)
{\displaystyle \mathbf {a} =({\ddot {x}},{\ddot {y}})}
a
=
−
r
θ
˙
2
(
cos
θ
,
sin
θ
)
+
r
θ
¨
(
−
sin
θ
,
cos
θ
)
{\displaystyle \mathbf {a} =-r{\dot {\theta }}^{2}(\cos \theta ,\sin \theta )+r{\ddot {\theta }}(-\sin \theta ,\cos \theta )}
とまとめることができ、さらに(1-i)(2-i)を用いれば
a
=
−
θ
˙
2
r
+
θ
¨
θ
˙
v
{\displaystyle \mathbf {a} =-{\dot {\theta }}^{2}\mathbf {r} +{\frac {\ddot {\theta }}{\dot {\theta }}}\mathbf {v} }
と求めることができる。
よって、向心方向・接線方向のそれぞれの大きさは
{
a
r
=
r
θ
˙
2
a
θ
=
r
|
θ
¨
|
{\displaystyle {\begin{cases}a_{r}=r{\dot {\theta }}^{2}\\a_{\theta }=r|{\ddot {\theta }}|\end{cases}}}
である。
尚、向心方向の大きさについては、円の外側に向かう向きを正にとっているので注意したい。
