ii

底及び指数が共に虚数単位で表される正の実数

数学において、虚数単位 iiii じょう)すなわち ii とは、ある可算無限個の実数である。ネイピア数 e円周率 π を用いて、

と書ける(n は任意の整数)。n = 0 としたとき、ii主値

を取る(オンライン整数列大辞典の数列 A49006)。

計算の方法

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まず i偏角は(ラジアンで) π/2 + 2n は任意の整数)であることに注意する。

 

ただし log複素対数函数多価関数)であり、log i

 

そして指数関数 ex は、冪級数

 

等により定義され、虚数乗も計算できる。

ここで ln実数値関数自然対数であり

 

と計算される。n = ... , −2, −1, 0, 1, 2, ... とおくと

 

となる。主値は冒頭の通り n = 0 のときの eπ/2 である。

数学的性質

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ii の取る値はどれも正の実数であるが、e−(π/2 + 2) の整数 n を適当に小さくとれば、どんな実数よりも大きな数になり、逆に n を大きくとれば、どんな正の実数よりも小さな数になる。したがって ii には最大値も最小値も存在しない。

ii の主値 eπ/2

 

であるから、ゲルフォント=シュナイダーの定理より、超越数であるため、無理数である。同様に他の ii の値も超越数である。

なお (−i)i

 

なので、(−i)i = ii である。

テトレーション  極限は実数ではない複素数に収束する (Macintyre 1966)。

 

ただし、WランベルトのW関数である。

関連項目

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外部リンク

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  • Weisstein, Eric W. "i". mathworld.wolfram.com (英語).