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三進法

3を底とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法

三進法(さんしんほう)とは、3(てい、基(base)とも)とし、底のの和で数を表現する方法である。

目次

概要編集

任意の正の数は次のように表すことが出来る。

 

am は0,1,2のどれか)このとき、

 

と書くのが三進法である。

記数法編集

位取り編集

三進法では012の計三つの数字を用い、を10、を11…と表記する。三で桁上がりするので、「3」の字が使えるN進法は四進法以降、「3」の字が使えて「1/3」が割り切れるN進法は六進法以降となる。桁の増加も、三進法では、三の冪数で桁が一つ増える。以下の表に、二進法(底が2)、三進法(底が3)、六進法(底が2×3)、十進法(底が2×5)での各表記法の差異を掲載する。

数列の進み方(二十まで)
二進法 三進法 六進法 十進法
0 0 0 0
1 1 1 1
10 2 2 2
11 10 3 3
100 11 4 4
101 12 5 5
110 20 10 6
111 21 11 7
1000 22 12 8
1001 100 13 9
1010 101 14 10
1011 102 15 11
1100 110 20 12
1101 111 21 13
1110 112 22 14
1111 120 23 15
10000 121 24 16
10001 122 25 17
10010 200 30 18
10011 201 31 19
10100 202 32 20
数列の進み方(二十一以降)
二進法 三進法 六進法 十進法
10101 210 33 21
10110 211 34 22
10111 212 35 23
11000 220 40 24
11001 221 41 25
11010 222 42 26
11011 1000 43 27
100100 1100 100 36
110110 2000 130 54
1000000 2101 144 64
1010001 10000 213 81
1100100 10201 244 100
三進法の位数
桁の数量 二進数に換算 三進数 六進数に換算 十進数に換算
整数第五位 81の位 1010001 10000 213 81
整数第四位 27の位 11011 1000 43 27
整数第三位 9の位 1001 100 13 9
整数第二位 3の位 11 10 3 3
整数第一位 1の位 1 1 1 1
小数第一位 1/3の位 1/11 0.1 0.2 1/3
小数第二位 1/9の位 1/1001 0.01 0.04 1/9
小数第三位 1/27の位 1/11011 0.001 0.012 1/27
小数第四位 1/81の位 1/1010001 0.0001 0.0024 1/81

※ 桁の数量は十進表記。

演算編集

三進法で記した、加算及び乗算の表は次のようになる。

加算
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 10
2 2 10 11
乗算
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 11

で割り切れない(= 奇数である)ため、三進法では 1/2 = 0.1111… となり、「偶数」が全て割り切れない。三進法や五進法などの奇数進法は、1/2 が割り切れないため、そのどこかの桁で丸め(端数処理)を行おうとする時に、例えば六進法の 0.3 や十進法の 0.5 のような「二分すると同数」が起こらない、という特徴を持つ。さらに後述する平衡三進法には、ある桁で打ち切るだけで「一捨二入」の丸めになる、という特長を持つ。

しかし、二の次の数である三が底になっているので、「三分すると同数」が起こる、という特徴を持つ。これは、六進法の 0.2 や九進法の 0.3 などと同様である。

三進法の小数除算
単位分数 除数の素因数分解 三進小数 六進小数 十進小数
1/2 2 0.1111… 0.3 0.5
1/3 3 0.1 0.2 0.3333…
1/4 22 0.0202… 0.13 0.25
1/5 5 0.0121 0.1111… 0.2
1/6 2×3 0.0111… 0.1 0.1666…
1/7 7 0.010212 0.0505… 0.142857
1/8 23 0.0101… 0.043 0.125
1/9 32 0.01 0.04 0.1111…
1/10 2×5 0.0022 0.03333… 0.1
1/11 11 0.00211 0.0313452421 0.0909…
1/12 22×3 0.00202… 0.03 0.08333…
1/16 24 0.0012 0.0213 0.0625
1/18 2×32 0.00111… 0.02 0.05555…
1/20 22×5 0.0011 0.01444… 0.05
1/25 52 0.00100201102212202112 0.01235 0.04
1/27 33 0.001 0.012 0.037
1/36 22×32 0.000202… 0.01 0.02777…
1/64 26 0.0001021011122022 0.003213 0.015625
1/81 34 0.0001 0.0024 0.012345679

※ 単位分数と除数の素因数分解は十進表記。

経済性編集

コンピュータなどの計算機械で、N進記数法で一桁を表現・記憶するコストがNに比例すると仮定する。すると、最大値Mまでを表現・記憶できるようにするためのコストは、一桁分のコストに必要な桁数を掛けたものとなり、具体的には N × logNM である。この値が極小になるのはNネイピア数eの時であるが、e進法は通常の数の表現には全く適さない。前後の整数では、二進と四進の場合が同じで、三進の場合が若干だが小さな値となる。よって前述の仮定の下では三進法の採用が最も経済的ということになるが、三値素子といったようなものは、特に電子的には二値素子の扱いやすさとは比べるべくもなく、稀である。が、後述する平衡三進法を使っていたソ連のコンピュータw:Setunなど、全く例がないわけでもない。

以上の計算では、仮定としてN進の場合にはN個の素子が必要としているわけだが、実際には一つの素子で、二つの状態(オン・オフ)や三つの状態(実用例のある三値素子としては、二方向の磁化と無磁化など)のものを使うことが専らのため、そもそも仮定が実際とは異なる(十進法の計算機などで、十個の素子を使うものもないわけではない)。

平衡三進法編集

重みを持つ各桁の値を負の側にも振る、平衡位取り記数法の最も単純な方式である(同様の考え方を拡張すれば、平衡五進法や平衡七進法が考えられる)。amの値を-1,0,1とする。位取り記数法の内に負数も含めて綺麗に表現できるという性質があり、ドナルド・クヌースのように「おそらく、あらゆる記数法の中で最も美しい」と言う者もいる[1]。しかし、二進法などと比べて応用も多くないため、ほとんど使われていない。ここでは-1を と表示することとする。また、この表記法は天秤で「1g,3g,9g,27gの分銅を用いて1~40gの質量を量る方法」とも似ている。

平衡三進法の演算編集

平衡三進法では通常と若干異なる演算が必要である。加算、乗算の結果は次のようになる。

加算
+      
       
       
       
乗算
×      
       
       
       

上の位に影響を及ぼすのは加算の2つだけである。二進と同様に乗算では上の位に影響を及ぼさない。減算は複雑そうに思えるが、加算の結果を知っていれば難しくない。減算では  を入れ替えたものを加算する方法も有効である。ただし、除算は厄介である。

通常のN進法との差異編集

十進法 六進法 通常の三進法 平衡三進法
正の数 負の数
0 0 0  
1 1 1    
2 2 2    
3 3 10    
4 4 11    
5 5 12    
6 10 20    
7 11 21    
8 12 22    
9 13 100    

3値論理との関連編集

多値論理の一種で、それらのうちもっとも単純なものともいえる3値論理と三進法は、ある意味で関連があるとも言えるが、同一視するのは誤りである。3値論理には3値論理としての各種の論理演算が提案されているが、それらは必ずしも記数法としての三進法(通常の、あるいは平衡三進法)と対応するとは限らないし、対応させなければならない、というものでもない。論理素子・回路として3状態の方式を使い、数の表現と数値計算に三進法を採用したコンピュータがあったとして、そのコンピュータが論理演算として3値論理の論理演算を持つか否か(あるいはそれがどのような論理体系を実装したものか)も設計次第である(前述のソ連のSetunに関して、三進法の回路方式を、すなわち3値論理であると解釈したものと思われる解説などが見られることがある)。

編集

  1. ^ 『The Art of Computer Programming』日本語版(アスキー)2巻 p. 194

関連項目編集

参考文献編集