幾何学 で、六円定理 （ろくえんていり、英語 : six circles theorem ）は、三角形 と6つの円 に関する定理である[1] △ABC についてAB ,BC 接する 円O 1 O 1 ,BC ,CA O 2 O 2 ,CA ,AB O 3 O 6 O 6 O 1 [2] [3] [4] [5]
最初の円の半径を変えた六円定理の例。右下は、最初の円が内接円 になっている。 三角形の辺を互いに接する円 （英語版 ） 九円定理 ）[2] 多角形 へも一般化されている（その場合周期が異なる）[5]
半周長 が1である△A 1 A 2 A 3 について、線分 A i A i -1A i A i +1C i -1C i +1C i A 4 =A 1 A i 内接円 の接点の距離をa i
a
i
=
cos
2
(
α
i
)
(
0
<
α
i
<
π
2
)
{\displaystyle a_{i}=\cos ^{2}(\alpha _{i})\quad (0<\alpha _{i}<{\frac {\pi }{2}})}
とする。すると
cos
2
(
α
1
)
+
cos
2
(
α
2
)
+
cos
2
(
α
3
)
=
1
{\displaystyle \cos ^{2}(\alpha _{1})+\cos ^{2}(\alpha _{2})+\cos ^{2}(\alpha _{3})=1}
を得る。このとき内接円の半径r
r
=
cos
(
α
1
)
cos
(
α
2
)
cos
(
α
3
)
{\displaystyle r=\cos(\alpha _{1})\cos(\alpha _{2})\cos(\alpha _{3})}
が成り立つ。C i -1A i A i -1A i A i +1A i x i
x
i
=
cos
2
(
φ
i
)
(
0
<
φ
i
<
π
2
)
{\displaystyle x_{i}=\cos ^{2}(\varphi _{i})\quad (0<\varphi _{i}<{\frac {\pi }{2}})}
とすると、
φ
i
=
π
−
φ
i
−
1
−
α
i
+
1
{\displaystyle \varphi _{i}=\pi -\varphi _{i-1}-\alpha _{i+1}}
が成り立つ[6] 角の二等分線 上にあることから、円の半径を求めることができる。また、計算していくと、
φ
7
=
φ
1
{\displaystyle \varphi _{7}=\varphi _{1}}
が分かるので、連鎖が6であることが分かる。
s=1とした場合。 C 1 C 2 D 1 ,D 2 C i r i
A
1
D
1
=
cos
2
φ
1
,
D
1
D
2
=
2
r
1
r
2
,
A
2
D
2
=
cos
2
φ
2
{\displaystyle A_{1}D_{1}=\cos ^{2}{\varphi _{1}},D_{1}D_{2}=2{\sqrt {r_{1}r_{2}}},A_{2}D_{2}=\cos ^{2}{\varphi _{2}}}
また、三角形と比の定理 （英語版 ）
r
r
i
=
cos
2
α
i
cos
2
φ
i
{\displaystyle {\frac {r}{r_{i}}}={\frac {\cos ^{2}\alpha _{i}}{\cos ^{2}\varphi _{i}}}}
なので
r
1
r
2
=
cos
α
3
cos
φ
1
cos
φ
2
{\displaystyle {\sqrt {r_{1}r_{2}}}=\cos \alpha _{3}\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}}
である。これを用いれば
A
1
A
2
=
cos
2
α
1
+
cos
2
α
2
=
1
−
cos
2
α
3
=
cos
2
φ
1
+
2
cos
α
3
cos
φ
1
cos
φ
2
+
cos
2
φ
2
{\displaystyle A_{1}A_{2}=\cos ^{2}\alpha _{1}+\cos ^{2}\alpha _{2}=1-\cos ^{2}\alpha _{3}=\cos ^{2}\varphi _{1}+2\cos \alpha _{3}\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+\cos ^{2}\varphi _{2}}
を得る。この式をcosφ 2 について解くと
cos
φ
2
=
−
cos
φ
1
cos
α
3
±
sin
φ
1
sin
α
3
=
cos
(
π
−
φ
1
∓
α
3
)
{\displaystyle \cos \varphi _{2}=-\cos \varphi _{1}\cos \alpha _{3}\pm \sin \varphi _{1}\sin \alpha _{3}=\cos(\pi -\varphi _{1}\mp \alpha _{3})}
となる。0<φ 2 <π/2 に注意すれば
φ
2
=
π
−
φ
1
−
α
3
{\displaystyle \varphi _{2}=\pi -\varphi _{1}-\alpha _{3}}
となる。よって、円の半径の項で見たようにこの式を循環的に使えば、証明される[6]
最初の円を内接円 にすると、奇数回目の操作で得られる円は常に内接円となる。特に
φ
2
=
π
−
α
1
−
α
3
,
φ
4
=
π
−
α
3
−
α
2
,
φ
6
=
π
−
α
2
−
α
1
{\displaystyle \varphi _{2}=\pi -\alpha _{1}-\alpha _{3},\varphi _{4}=\pi -\alpha _{3}-\alpha _{2},\varphi _{6}=\pi -\alpha _{2}-\alpha _{1}}
が成り立つので、
r
2
r
=
cos
2
(
α
1
+
α
3
)
cos
2
α
2
,
r
4
r
=
cos
2
(
α
3
+
α
2
)
cos
2
α
1
,
r
6
r
=
cos
2
(
α
2
+
α
1
)
cos
2
α
3
{\displaystyle {\frac {r_{2}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{1}+\alpha _{3})}{\cos ^{2}\alpha _{2}}},{\frac {r_{4}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{3}+\alpha _{2})}{\cos ^{2}\alpha _{1}}},{\frac {r_{6}}{r}}={\frac {\cos ^{2}(\alpha _{2}+\alpha _{1})}{\cos ^{2}\alpha _{3}}}}
が従う。これは1814年 の算額 の書物や1781年のHukugawaの書籍でも示されている[7] [8]
The Ladies' Diary （英語版 ） [9]
r
=
r
2
r
4
+
r
4
r
6
+
r
6
r
2
{\displaystyle r={\sqrt {r_{2}r_{4}}}+{\sqrt {r_{4}r_{6}}}+{\sqrt {r_{6}r_{2}}}}
4つ目の円と1つ目の円を一致させると円の周期は3になりマルファッティの円 となる。特に
φ
1
=
φ
4
=
1
2
(
π
+
α
1
−
α
2
−
α
3
)
φ
2
=
φ
5
=
1
2
(
π
−
α
1
+
α
2
−
α
3
)
φ
3
=
φ
6
=
1
2
(
π
−
α
1
−
α
2
+
α
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}=\varphi _{4}={\dfrac {1}{2}}(\pi +\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{2}=\varphi _{5}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{3}=\varphi _{6}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}-\alpha _{2}+\alpha _{3})\end{aligned}}}
が従う。
^ Weisstein, Eric W.. “Six Circles Theorem ” (英語). mathworld.wolfram.com . 2024年6月30日 閲覧。 ^ a b Evelyn, C. J. A.、Money-Coutts, G. B.、Tyrrell, John Alfred『The Seven Circles Theorem and Other New Theorems 』Stacey International、London、1974年、49–58頁。ISBN 978-0-9503304-0-2 。https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/seven-circles-theorem-and-other-new-theorems-by-c-j-a-evelyn-g-b-moneycoutts-and-j-a-tyrrell-pp-viii-68-280-1974-sbn-0-950-3304-ox-stacey-international/0D651BCF5B021542D4A4BAA4FCA3BDA1 。
^ Wells, David 『The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry 』Penguin Books、New York、1991年、231 頁。ISBN 0-14-011813-6 。https://archive.org/details/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry 。 ^ SERGETABACHNIKOV (2000). “Going in Circles: Variations on the Money-Coutts Theorem” . GeometriaeDedicata (Vol 80): 201-209. https://web.archive.org/web/20170809092542/http://www.math.psu.edu/tabachni/prints/circles.pdf . ^ a b Ivanov, Dennis; Tabachnikov, Serge (2016). “The six circles theorem revisited” . American Mathematical Monthly 123 (7): 689–698. arXiv :1312.5260 . doi :10.4169/amer.math.monthly.123.7.689 . MR 3539854 . https://arxiv.org/pdf/1312.5260 .
^ a b Christoph Soland. “Configuration de Malfatti et théorème des six cercles ”. 2024年6月30日 閲覧。
^ Géry Huvent,, Dunod, 2008, p. 125
^ H. Fukagawa, Daniel Pedoe, , Winnipeg: Charles Babbage Research Centre,
^ 『Géométrix,d'Euclide à Einstein, la magie d'une science surprenante,』Flamarion、2021年、184,269-270頁。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{1}=\varphi _{4}={\dfrac {1}{2}}(\pi +\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{2}=\varphi _{5}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}+\alpha _{2}-\alpha _{3})\\[4pt]\varphi _{3}=\varphi _{6}={\dfrac {1}{2}}(\pi -\alpha _{1}-\alpha _{2}+\alpha _{3})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5582bb71601b1b798eff6cb0aff7ddbd5745d7a5)
