四角形

4つの辺と頂点を持つ多角形
平面四角形から転送)

四角形(しかくけい、しかっけい、: quadrilateraltetragon)は、平面上で4本の直線に囲まれた平面の一部を指す。多角形の一種で、4つの頂点と4本のを持つ。一般的には凸四角形を指す。

四角形
様々な種類の四角形
頂点4
シュレーフリ記号{4} (正方形の場合)
面積様々な方法;
下記参照
内角 ()90° (正方形と長方形の場合)

四角形に関する用語

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  • 対辺:繋がっていない(頂点を共有しない)辺のこと。四角形は2組の対辺を持つ(向かい合う辺)。
  • 対頂点:辺を共有しない二頂点。四角形は2組の対頂点を持つ。
  • 対角:対頂点における内角。四角形は2組の対角を持つ(向かい合う角)。
  • 対角線:対頂点を結ぶ線分。四角形は2本の対角線を持つ。

四角形の分類

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  • 台形: trapezoidtrapezium): 少なくとも一組の対辺が平行であるような四角形。平行な対辺の組を底辺と呼び、残りの対辺の組をと呼ぶ。
  • 等脚台形: isosceles trapezium): 台形のうち、1つの底辺をはさむ 2角の大きさが等しいもの。
    1. 底辺の中点を結ぶ直線が線対称の軸となり、2本の脚の長さが等しくなる。
    2. 2本の対角線は、長さが等しい。円に内接する。
  • 凧形: kite):それぞれ長さの等しい2辺によってはさまれた対角を持つ四角形。
    1. 対角線の1つが線対称の軸となり、残り一組の対角は等しい大きさを持つ。
    2. 2本の対角線は、互いに直交する。
    3. 円に外接する。
  • 長方形矩形: rectangle): 4角の大きさが全て等しい四角形。
    1. 1つの内角の大きさは、直角(90°(π/2 ラジアン)に等しい。
    2. 4頂点は、対角線の交点から等距離にある(円に内接する)。
    3. 平行四辺形の特別な形であるので、平行四辺形の性質を全て持つ。
    4. 等脚台形の特別な形であるので、等脚台形の性質を全て持つ。
  • 菱形斜方形: rhombus): 4辺の長さが全て等しい四角形。
    1. 1辺の長さは、周の4分の1に等しい。
    2. 4辺は、対角線の交点から等距離にある(円に外接する)。
    3. 平行四辺形の特別な形であるので、平行四辺形の性質を全て持つ。
    4. 凧形の特別な形であるので、凧形の性質を全て持つ。
  • 正方形スクエア: square): 4辺の長さが全て等しく、4角の大きさが全て等しい四角形。
    1. 対角線の長さは等しく、直角に交わる。
    2. 正多角形の一種であり、正多角形の性質を全て持つ。
    3. 長方形の特別な形であるので、長方形の性質を全て持つ。
    4. 菱形の特別な形であるので、菱形の性質を全て持つ。
  • 平行四辺形: parallelogram): 2組の対辺がそれぞれ平行である四角形。
    1. 対辺は(2組あるが、それぞれ)長さが等しくなっている。
    2. 対角は(2組あるが、それぞれ)大きさが等しくなっている。
    3. 対角線は(2本あるが、そのどちらも)他の対角線の中点を通る。対角線は、互いの長さを2 等分する。
  • 凹四角形: 内角の大きさが180°(π ラジアン) を超えるような頂点を持つ四角形。対角線が四角形の内部で交点を持たない、外角が定義できないなどの不都合があるため、日本の初等中等教育では「矢じり形」などと呼んで、四角形の集合には含めない。
  • 円に外接する四角形:内接円を持つ四角形。2組の対辺の和が等しい。
  • 円に内接する四角形:外接円を持つ四角形。2組の対角の和はそれぞれ 180°(π ラジアン)に等しい。4つの内角の大きさが、その対角の外角に等しい。
  • 双心四角形:内接円と外接円を持つ四角形。
 
四角形の分類階層図

合同条件

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二つの四角形を、それぞれその対角線の一つで分割したとき、分割された図形は三角形になる。この三角形が合同である組が存在して、対角線となる辺の位置も一致しているとき、二つの四角形は合同になる。

相似条件

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面積の公式

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正方形 [一辺]2
長方形 [縦]×[横]
菱形・凧形・直交対角線四角形 [対角線]×[もう一つの対角線]÷2
平行四辺形 [底辺]×[高さ]
台形 ([上底]+[下底])×[高さ]÷2
円に内接する四角形(共円四辺形 ブラーマグプタの公式
円に外接する四角形 [ 内接円の半径]×[ 周の長さの半分 ]
一般の四角形 ブレートシュナイダーの公式
[対角線]×[もう一つの対角線]×[sin([2つの対角線がなす角])]÷2

関連項目

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