論理記号の一覧

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論理学において、記号は広く論理的表現を表すのに用いられている。 以下の表は多くの一般的な記号について、それらの名称と読み方、数学における関連分野について記している。 加えて、非形式的な定義と単純な例を。 そしてUnicodeにおける符号位置や文字参照LaTeXで使用可能なコマンドを記している。

目次

基礎的な論理記号編集

記号
名称 / 読み方 / 分野
説明
Unicode 文字参照 実体参照 LaTeXコマンド
実質含意 含む; もし〜ならば 命題論理, ハイティング代数
AB」 は、A が偽またはBが真であるときのみ、真となる。

「→」は「⇒」と同じ意味である。(またこの記号は関数の定義域終集合を表す。詳しくは数学記号の表を見よ)

「⊃」も「⇒」と同じ意味である。(また上位集合も意味する)

x = 2 ⇒ x2 = 4 は真である。ただし x2 = 4 ⇒ x = 2 は一般に偽である(ここで x は -2 の可能性もある)。
U+21D2 ⇒ ⇒   \Rightarrow

  \implies

U+2192 → →   \to
U+2283 ⊃ ⊃   \supset
実質等値 〜のとき、かつそのときに限り; iff; 命題論理
AB」は、AB が共に真、または共に偽のときのみ真となる。
x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y
U+21D4 ⇔ ⇔   \Leftrightarrow

  \iff

U+2261 ≡ ≡   \equiv
U+2194 ↔ ↔   \leftrightarrow
¬
否定 〜ではない 命題論理
言明「¬A」は A が偽のときのみ真となる。

演算子の上に置かれたスラッシュは、否定記号 ¬ が演算子の前に置かれているのと同じく、その演算子の否定を意味する。

¬(¬A) ⇔ A

xy ⇔ ¬(x = y)

U+00AC ¬ ¬   \lnot

  \neg

˜ U+02DC ˜ ˜   \tilde{}
! U+0021 ! !
記号
名称 / 読み方 / 分野
説明
Unicode 文字参照 実体参照 LaTeXコマンド
論理積 かつ (and) 命題論理、ブール代数
言明「AB」は、AB が共に真であるときのみ、真である、他の場合は偽。
n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3n が自然数であるとき)
U+2227 &#8743; &and;   \land

  \wedge

· U+00B7 &#183; &middot;   \cdot
U+22C5 &#8901; &sdot;
& U+0026 &#38; &amp;   \&
論理和 または (or) 命題論理、ブール代数
言明「AB」は、A または B のいずれか(または両方)が真のとき、真である; そして両方が偽のときは、偽。
n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3n が自然数であるとき)
U+2228 &#8744; &or;   \lor

  \vee

+ U+002B &#43; -
U+2225 &#8741; -   \parallel
排他的論理和 xor 命題論理、ブール代数
言明「AB」は、A または Bいずれか(両方ではない)が真のとき、真となる。

AB」も意味は同じ。

A) ⊕ A は常に真である。AA は常に偽である。
U+2295 &#8853; &oplus;   \oplus
U+22BB &#8891; -   \veebar
トートロジー トップ 命題論理、ブール代数
言明「」は無条件に真である。
A ⇒ ⊤ は常に真。
U+22A4 &#8868; -   \top
T U+0054 &#84; -
1 U+0031 &#49; -
矛盾 ボトム 命題論理、ブール代数
言明「」は無条件に偽である。
⊥ ⇒ A は常に真。
U+22A5 &#8869; -   \bot
F U+0046 &#70; -
0 U+0030 &#48; -
記号
名称 / 読み方 / 分野
説明
Unicode 文字参照 実体参照 LaTeXコマンド
全称量化 すべての; 任意の; それぞれについて 一階述語論理
x: P(x)」は、すべての x について P(x) が真であることを意味する。
n: n2n.
U+2200 &#8704; &forall;   \forall
存在量化 〜が存在する 一階述語論理
x: P(x)」は、P(x) を満たす x が少なくとも1つは存在することを意味する。
n ∈ ℕ: n が偶数.
U+2203 &#8707; &exist;   \exists
∃!
唯一存在量化英語版 〜がただ1つ存在する 一階述語論理
∃! x: P(x)」は、P(x) を満たす xただ1つ存在することを意味する。
∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n.
U+2203 U+0021 &#8707;&#33; -   \exists!
記号
名称 / 読み方 / 分野
説明
Unicode 文字参照 実体参照 LaTeXコマンド
定義 〜として定義される 全分野
xy」や「xy」は、xy の別名として定義されることを意味する。 (ただし「≡」は、単なる一致も意味する)

P :⇔ Q」は、PQ と論理的に等価に定義されることを意味する。

cosh x ≔ (1/2)(exp x + exp (−x))

A XOR B :⇔ (AB) ∧ ¬(AB)

U+2254 &#8788; -   \coloneqq[注釈 1]
U+2261 &#8801; &equiv;   \equiv
:⇔ U+003A U+229C &#58;&#8860; :&hArr;   :\Leftrightarrow
( )
優先順位 括弧 全分野
括弧内の操作を優先して実行する。
(8 ÷ 4) ÷ 2 = 2 ÷ 2 = 1, 一方で 8 ÷ (4 ÷ 2) = 8 ÷ 2 = 4.
U+0028 U+0029 &#40; &#41; &exist;   ()
ターンスタイル 〜を証明する 命題論理、一階述語論理
xy」は x から y が証明させることを意味する。
AB ⊢ ¬B → ¬A
U+22A2 &#8866; -   \vdash
ダブル・ターンスタイル英語版 〜を含意する 命題論理、一階述語論理
xy」は xy を含意することを意味する。
AB ⊨ ¬B → ¬A
U+22A8 &#8872; -   \vDash
記号
名称 / 読み方 / 分野
説明
Unicode 文字参照 実体参照 LaTeXコマンド

その他の論理記号編集

以下では、発展的または稀に用いられる論理記号について述べる。

オーバーラインの引かれた中点は否定論理積 NAND を表す。A · B¬ (A & B) と等価。
オーバーライン
数式の上に引かれたオーバーラインは、ゲーデル数を表すことがある。例えば AB は、論理式 AB のゲーデル数を意味する。
またオーバーラインで否定を表すこともある。例えば AB は、¬(AB) と等価。
U+007C | vertical line
U+2191 upwards arrow
U+22BC nand
シェファーの棒記号 (Sheffer stroke) とも呼ばれ、否定論理積 NAND 演算子である。
U+2193 downwards arrow
U+22BD nor
パースの矢印 (Peirce arrow) とも呼ばれ、否定論理和 NOR 演算子である。
U+2201 complement
集合論において補集合を表す。例えば、全体集合が了解されている集合 A について、その補集合は   と表される。
U+2204 there does not exist
斜線の引かれた存在量化子は、¬∃ と等価である。すなわち存在の否定を意味する。
U+2234 therefore
「故に、従って (therefore)」を意味する。
U+2235 because
「なぜならば (because)」を意味する。
U+22A7 models
左辺が右辺のモデルであることを意味する2項演算子。例えば理論 T について「MT」は、MT のモデルであることを意味する。[1]
U+22A8 true
左辺が右辺の論理的帰結であることを意味する2項演算子。例えば理論 T と論理式 φ について「Tφ」は、φT の論理的帰結である、すなわち φT定理であることを意味する。
また「論理的に正しい」ことを意味する前置演算子。「∅ ⊧ φ」を「φ」と略記する、ここで 空集合[1]
U+22AC does not prove
「証明不可能」を意味する。例えば理論 T と論理式 φ について「Tφ」は、T から φ が証明不可能である、すなわち φT の定理ではないことを意味する。
U+22AD not true
U+22A8 true の否定。
U+22C6 star operator
アドホックな演算子について用いられる。
U+231C top left corner
U+231D top right corner
角引用符 (corner quotes) は「クワインの引用符」または「疑似引用符」(quasi-quotation) と呼ばれ、ゲーデル数を意味する。例えば論理式 φ について「φ」は、ゲーデル数化された φ を意味する。[2]

注釈編集

  1. ^ mathtools パッケージの導入が必要

出典編集

  1. ^ a b 新井 2011, p. 23.
  2. ^ 田中 2007, pp. 78-79.

参考文献編集

関連項目編集