五角形

5つの辺と頂点を持つ多角形
正五角形

五角形(ごかくけい、ごかっけい、: pentagon)は、5つの頂点を持つ多角形の総称。

正五角形編集

正五角形は、各辺の長さが等しく、内角も108°中心角72°)と一定な五角形である。辺の長さを a とすると

面積
 
内接円の半径
 
外接円の半径
 

正五角形の作図編集

 
定規とコンパスによる作図例

正五角形(regular pentagon)は定規とコンパスによる作図が可能である。以下に示すのは古典的な方法の一つである。

       
(1) (2) (3) (4)
  1. 直線上の一点Oを中心にとった円を描画し、直線と交わる二点をA, Bとする。ABの垂直二等分線、およびOAの垂直二等分線を作図する。
  2. OAとその垂直二等分線が交わる点をC、円OとABの垂直二等分線が交わる点のうち一つをDとする。CDを半径にとり、Cを中心にDからABまでを描画する。弧とABが交わる点をEとする。
  3. DEを半径にとり、Dを中心に弧を描画する。弧が円Oと交わる二点をF, Gとする。
  4. 同じ半径のままF, Gを中心とした弧を描画する。これらの弧が円Oと交わる五点D, F, G, I, Hを結ぶ図形が正五角形である。
 
正方形のマス目上での正五角形の描き方

定理編集

 
正五角形の対角線(五芒星)
  • 正五角形の一辺と対角線とのは、黄金比に等しい。
  • 正五角形の交わる対角線は、互いに他を黄金比に分ける。
  • 対角線の長さが互いに全て等しい正多角形は、正五角形と正四角形(正方形)のみである。
  • n 角形の対角線の本数を m 本としたとき n = m が成り立つのは n = 5、すなわち五角形だけである。

その他五角形に関する事項編集

   
紙片の結び目と正五角形
 
水平な底辺を持つ正五角形の右下の辺の傾きは「高さ×2÷底辺の長さ」となっている。
  • 五角形の対角線を繋いだ星形を五芒星(ペンタグラム)という。たとえば長崎市市章などはペンタグラムとなっている。
  • 細長い片、(またはリボン割り箸袋など)で一重結びの結び目を作ると正五角形が得られる。
  • アメリカ国防総省を俗にペンタゴンというが、これはワシントンD.C.にある本部庁舎が五角形であることに由来する。
  • 飯塚伊賀七の作った茨城県つくば市谷田部にある五角堂は、五角形をした建築物である[1]
  • ヒトデウニなど、棘皮動物の体制は五放射相称を基本とする。
  •  で、これに黄金比を掛けると1/2になる。つまり、2sin18°は黄金比の逆数
  • 五角数多角数の一つである。
  • 野球で使用される本塁は、五角形をしている。本塁は正五角形ではなく正方形を元につくられる五角形である。
  • これも正五角形ではないが、将棋も先の尖った独特の五角形をしている。
  • 正五角形の1つの頂点からの2本の対角線と1辺とでできる三角形は黄金三角形である。
  • 水平な底辺を持つ正五角形の右下の辺の傾きは「高さ×2÷底辺の長さ」となっている。

関連項目編集

脚注編集

  1. ^ 「日研」新聞編集委員会 編(1991):184ページ

参考文献編集

  • 高木貞治『数学小景』岩波書店〈岩波現代文庫〉、2002年。ISBN 4006000812
  • 「日研」新聞編集委員会 編『茨城108景をめぐる』川崎松濤 監修、筑波書林、平成3年9月20日、219pp.