ハミルトン形式は一般化座標 と一般化運動量 によって記述される。
それぞれの時間微分は
で与えられる。ドットは時間微分を表す。この式は正準方程式、或いはハミルトン方程式と呼ばれる。
一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 はハミルトニアンと呼ばれる。
ハミルトン形式において物理量は一般化座標、一般化運動量、および時間の関数
として書かれる。物理量の時間微分は
となる。特にハミルトニアンの時間微分は
である。
ハミルトニアン編集
ハミルトニアンはラグランジアンから
で定義される。
ラグランジアンが
の形で書かれていた場合、ハミルトニアンは
となり、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、すなわち、系の全エネルギーであることが分かる。
ハミルトニアンの時間微分は
であり、ハミルトニアンが陽に時間に依存しないときは全エネルギーが保存する。
なお、ハミルトニアンは一般化座標、一般化運動量、および時間の関数として書かれた量であり、引数が違えば大きさが同じであってもハミルトニアンではない。
ハミルトニアンを定義式内の一般化速度は一般化運動量の定義式を逆に解いて一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 として書かれている。
一般化座標 q、一般化運動量 p から、変換
をしたとき、P,Q と時間の関数として書かれた新たなハミルトニアン H'(P,Q,t) を用いて、
となるとき、この変換を正準変換と言う。
正準変換によって、一般化座標と一般化運動量は相互に混じり合い、両者の区別は曖昧なものとなる。
一般化座標と一般化運動量を総称して正準共役量と呼ぶ。
正準共役量 p,q によって張られる空間は位相空間と呼ばれ、正準変換は二つの位相空間を対応付ける変換である。
ポアソン括弧(ポアソンの括弧式)とは、正準変数と時間の関数として書かれた物理量 A, Bに対して、
で定義される物理量である。
物理量の時間微分はハミルトニアンとのポアソン括弧を用いて
となる。物理量が陽に時間に依存しないときは
となる。
量子力学ではポアソン括弧は正準量子化の手続きによって、正準交換関係と対応付けられる。
ラグランジアン の全微分は
である。
一般化運動量は
で定義され、ラグランジュの運動方程式から
である。これを用いて先ほどの全微分を書き換えれば、
となる。全微分を移項して
となる。ハミルトニアン
を定義すれば、
となり、
を得る。