双心多角形

幾何学における双心多角形（そうしんたかくけい、英: bicentric polygon）は内接円と外接円を持つ多角形である。すべての三角形は外接円と内接円を持つので、双心多角形である。しかし例えば正方形でない長方形は、外接円を持つが内接円を持たないため双心多角形でない。

三角形

前述のとおり、任意の三角形は外接円と内接円を持つ^[1]。内半径、外半径をそれぞれ $r,R$ 、内心と外心の距離を $d$ として

{\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}}

が成り立つ^[2]。これはオイラーの定理である。

オイラーの定理の証明

以下の証明は右の図に書かれているものである。

ABC は三角形の頂点、O, I は三角形の外心と内心とする。R ,r ,d は前節と同じ、α=∠CAB, β=∠ABC と定義する。

AI が外接円と交わる（A以外の）点を L とし、LOが外接円と交わる点を M とする。

I から AB に下ろした垂線の足を D とすると、ID = r 。

LM は外接円の直径なので∠MBL は直角。よって∠ADI=∠MBL。円周角なので ∠BAL=∠BML。よって△ADI∽△MBL がいえる。よって AI×BL = ID×ML = 2R r 。

BI を結ぶと、∠BIL = ∠IAB + ∠ABI = α/2 + β/2, ∠IBL = ∠IBC + ∠CBL = β/2 + α/2。よって∠BIL = ∠IBL がいえるので△LBI は二等辺三角形であり、LB = LI。よって AI×IL = 2R r 。

OI の延長線が外接円と交わる点を P, Q とする。PI×IQ = (R -d )(R +d ) である。方べきの定理より AI×IL = PI×IQ である。

2R r = (R -d )(R +d ) なので、これを整理すれば求める式が得られる。

すべての四角形が内接円と外接円を持つわけではない。 $R>r$ を満たす $r,R$ をそれぞれ半径とする円の中心の距離を $d$ とする。この2円に内接、外接する四角形が存在することと、以下の式が成り立つことは同値である^[2]^[3]。

{\frac {1}{(R-d)^{2}}}+{\frac {1}{(R+d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}

この定理はファスの定理として知られている^[4]。

$r,R,d$ を前項と同様に定義する。一般の双心n角形の $r,R,d$ の関係式は非常に複雑である^[5]^[6]^[7]。

以下に、いくつかの双心n角形の $r,R,d$ に関する関係式を挙げた。

n=5:\quad r(R-d)=(R+d){\sqrt {(R-r+d)(R-r-d)}}+(R+d){\sqrt {2R(R-r-d)}},

n=6:\quad 3(R^{2}-d^{2})^{4}=4r^{2}(R^{2}+d^{2})(R^{2}-d^{2})^{2}+16r^{4}d^{2}R^{2},

n=8:\quad 16p^{4}q^{4}(p^{2}-1)(q^{2}-1)=(p^{2}+q^{2}-p^{2}q^{2})^{4},

ただし、 $p={\frac {R+d}{r}},q={\frac {R-d}{r}}$ である。

全ての正多角形は双心である^[2]。さらに、その外接円と内接円は同心円となる。また、内接円の半径は辺心距離と等しい。

辺長が $a$ である正n角形について、次の式が成立する。

R={\frac {a}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}={\frac {r}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}.

定規とコンパスによる作図可能な正多角形についてはいかのような関係式がある。

$n\!\,$	$R\,{\text{and}}\,a\!\,$	$r\,{\text{and}}\,a\!\,$	$r\,{\text{and}}\,R\!\,$
3	$R{\sqrt {3}}=a\!\,$	$2r={\frac {a}{3}}{\sqrt {3}}\!\,$	$2r=R\!\,$
4	$R{\sqrt {2}}=a\!\,$	$r={\frac {a}{2}}\!\,$	$2r=R{\sqrt {2}}\!\,$
5	$R{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=a\!\,$	$r\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {a}{10}}{\sqrt {50+10{\sqrt {5}}}}\!\,$	$r({\sqrt {5}}-1)=R\!\,$
6	$R=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=a\!\,$	${\frac {2r}{3}}{\sqrt {3}}=R\!\,$
8	$R{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}=a\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\,$	$r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\!\,$	$2r\left({\sqrt {2}}-1\right)=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\!\,$
10	$({\sqrt {5}}-1)R=2a\!\,$	$2r{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}=5a\!\,$	${\frac {2r}{5}}{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}={\frac {R}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\!\,$

外半径、内半径、1辺に長さの比の近似値は以下のようになる。