多面体の例

正四面体

正多面体


小星型十二面体

星型正多面体


二十・十二面体

半正多面体


大立方立方八面体

一様星形多面体英語版


菱形三十面体

カタランの立体


穿孔多面体

多面体(ためんたい、英: polyhedron)は、4つ以上の平面に囲まれた立体のこと。 複数頂点を結ぶ直線と、その辺に囲まれたによって構成される。 したがって、円柱などの曲面をもつものは含まず、また、すべての面の境界直線である場合に限られる。 3次元空間での多胞体であるとも定義できる。

多面体の一種、立方体

2次元空間での多胞体多角形なので、多角形を3次元に拡張した概念であるとも言える。

英語ではポリヘドロン (polyhedron)、複数形はポリヘドラ (polyhedra) である。多角形のポリゴン (polygon) の複数形がポリゴンズ (polygons) であるのとは異なる。また、類似しているものとして、正多面体半正多面体などがある。

オイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)

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穴の開いていない多面体、すなわち球面同相な多面体については、頂点の数 v, e, f について

 

が成り立つ。これをオイラーの多面体定理(オイラーの多面体公式)という。

この定理は、実際に多面体として成り立つような形状にとどまらず、頂点と辺から成るような任意の「グラフ」について扱うグラフ理論による定理である。たとえば穿孔多面体のような貫通したg 個持つ多面体では次式(オイラー・ポアンカレの多面体公式[1])となる。

 

分類

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凸多面体

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凸多面体は全ての二面角が180度未満の多面体である。

凹多面体

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凹多面体はいずれかの二面角が180度を超える多面体である。

以上は閉じた多面体の分類であるが、多面体の定義を「空間内で複数の多角形を辺で連結された立体」と緩めることによって、

といった開いた多面体も論じられる場合がある。

作図

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脚注

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  1. ^ 宮崎興二『4次元図形百科』丸善出版、2020年、125頁。ISBN 978-4-621-30482-2 
  2. ^ 多面体百科. 丸善出版. (2016/10/31) 

関連項目

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外部リンク

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