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十二進法

12を底とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法
十二進記数法から転送)

十二進法(じゅうにしんほう)は、12(てい)とし、底およびそのを基準にして数を表す方法である。

目次

記数法編集

整数編集

十二進記数法とは、十二を底とする位取り記数法である。十二進法での位取りでは、通常は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B の計十二個の数字を用い、を A , 十一を B , 十二を 10 , 十三を 11 と表記する。なお、8 と B が紛らわしいことを理由に、"Ten"と"Eleven"の頭文字を取って、十を T 、十一を E と表記する例もある。

本節では慣用に従い、通常のアラビア数字十進記数法で表記し、十二進記数法の表記を括弧および下付の 12 で表す。また、必要に応じて、十進記数法の表記も括弧及び下付の 10 で表す。十二進記数法で表された数を十二進数と呼ぶ。十二進法の位取りでは、左に一桁動くと 12倍 になり、右に一桁動くと 1/12 になる。言い換えると、整数第二位は「十二の位」、整数第三位は「百四十四の位」である。

(12)12 という表記において、左の「1」は十二を意味し、右の「2」は二を意味し、合わせて「十四」を意味する。

同様に、十二進記数法では、(39)1245 (3×121 + 9) を、(50)1260 (5×121) を、(100)12144 (1×122) を、(1A6)12270 (1×122 + 10×121 + 6) を、(500)12720 (5×122) を、(1000)121728 (1×123) を、(11A8)122000 (1×123 + 1×122 + 10×121 + 8) を、(6000)1210368 (6×123) を、(10000)1220736 (1×124) を、それぞれ意味する。

従って、十進法の「 45 × 16 = 720 」は、十二進法では「 (39)12 × (14)12 = (500)12 」と表記される。また、六十進法の補助基数を十進法から十二進法に直すと、例えば「10 時 30 分」は「(A)12 時 (26)12 分」と表記され、「 2,15 ÷ 20 = 6;45 」は「 (2,13)12 ÷ (18)12 = (6;39)12 」と表記され、その意訳「 135 ÷ 20 = 6+(45/60) 」も「 (B3)12 ÷ (18)12 = {6+(39/50)}12 」 となる。

累乗数の換算表編集

以下の表に、十二進数で表記した十二の累乗数と、それを十進数(底が五の二倍)と二十進数(底が五の四倍)に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判り易くするため、桁は四つごとに区切る。十二進数は底が三の四倍で、二十進数と同じく「底が奇数の四倍」であるが、桁の繰り上がりが三~四桁レベルでは十進数より一倍半から二倍ほど遅く{ (10000)12 = (20736)10 }、二十進数より二倍半から五倍ほど速い{ (5000)12 = (11C0)20 }。

十二の累乗数の換算
指数 十二進数 十進数に換算 二十進数に換算
1乗 10 12 C
2乗 100 144 74
3乗 1000 1728 468
4乗 1 0000 2 0736 2BGG
5乗 10 0000 24 8832 1 B21C
6乗 100 0000 298 5984 I D4J4
7乗 1000 0000 3583 1808 B3 IJA8
8乗 1 0000 0000 4 2998 1696 6E7 7E4G
9乗 10 0000 0000 51 5978 0352 40C8 CAHC
(A乗)12 (10乗)10 100 0000 0000 619 1736 4224 2 8793 AAB4
(B乗)12 (11乗)10 1000 0000 0000 7430 0837 0688 19 09A2 66E8
(10乗)12 (12乗)10 1 0000 0000 0000 8 9161 0044 8256 H8 5E17 G0CG

小数編集

桁が一つ動く度に数が12倍変わるため、小数第一位は「十二分の一の位」、小数第二位は「百四十四分の一の位」となる。従って、十二進法では、(0.1)12 は 1/12 (1÷121, 1×12-1) を、(0.5)12 は 5/12 (5÷121, 5×12-1) を、(0.01)12 は 1/144 (1÷122) を、(0.03)12 は 3/144 (3÷122) を、(0.001)12 は 1/1728 (1÷123) を意味する。

小数の (3.9)12 は「45/12」を意味し、小数の (0.39)12 は「45/144」という意味になる。従って、十進数の 3.75 は十二進数では (3.9)12 となり、十進数の 0.3125 は十二進数では (0.39)12 となる。前者は 3 + 75/100 (= 3/4) と 3 + 9/12 (= 3/4) が 15/4 で同値となり、後者は 3125/10000 (= 3125/104 = 5/16) と 45/144 (= 45/122 = 5/16) が同値になるからである。

  • (390)12 = 3×122 + 9×121 = (540)10
  • (39)12 = 3×121 + 9 = (45)10
  • (3.9)12 = 3 + 9÷121 = 45/12 = 15/4 = (3.75)10
  • (0.39)12 = 3÷121 + 9÷122 = 36/144 + 9/144 = 45/144 = 5/16 = (0.3125)10

同じく、十二進法の (0.39)12×(6)12 の積は (1.A6)12 となり、(3.9)12×(6)12 の積は (1A.6)12 となる。

  • (1A6)12 = 1×122 + 10×121 + 6 = (270)10
  • (1A.6)12 = 1×121 + 10 + 6÷121 = 270/12 = 90/4 = (22.5)10
  • (1.A6)12 = 1 + 10÷121 + 6÷122 = 1 + 120/144 + 6/144 = 270/144 = 30/16 = (1.875)10

これらの数式を十進法の小数や分数に換算すると、以下のようになる。

  • 数式A
    • 十二進法:(39)12 × (6)12 = (1A6)12
    • 十進法に換算:45 × 6 = 270
  • 数式B
    • 十二進法:(3.9)12 × (6)12 = (1A.6)12
    • 十進法の小数に換算:3.75 × 6 = 22.5
    • 十進法の分数に換算(桁に合わせる):45/12 (= 45/121) × 6 = 270/12 (= 270/121)
    • 十進法の分数に換算(約分する):(15/4) × 6 = (90/4)
  • 数式C
    • 十二進法:(0.39)12 × (6)12 = (1.A6)12
    • 十進法の小数に換算:0.3125 × 6 = 1.875
    • 十進法の分数に換算(桁に合わせる):45/144 (= 45/122) × 6 = 270/144 (= 270/122)
    • 十進法の分数に換算(約分する):(5/16) × 6 = (30/16)

上記の数式を月数に当て嵌め、数式Bの小数第一位をmヶ月、整数をy年とすると、(3.9)12は3年9ヶ月、(1A.6)12は22年6ヶ月と見なすこともできる。12倍した数式Aの整数第一位をmヶ月とすると、(39)12 は3年9ヶ月=45ヶ月、(1A6)12は22年6ヶ月=270ヶ月、(390)12は45年=540ヶ月となる。
更に派生して、「2000年3月から1977年11月までは、22年4ヶ月離れている。」は、「 (11A8.3)12 - (1189.B)12 = (1A.4)12 」と表記される。この数式を十進法に直すと、「 {2000+(3/12)} - {1977+ (11/12)} = {1999+(15/12)} - {1977+(11/12)} = {22+(4/12)} 」となる。(1A.4)12 を12倍した (1A4)12 は 268 で、(1A4)12=22年4ヶ月=268ヶ月ということになる。

また、57.6÷9 および (57.6)12 ÷ (9)12 の商は、以下の通りとなる。

  • 十進法: 57.6 ÷ 9 = 6.4
  • 十二進法: (57.6)12 ÷ (9)12 = (7.6)12

桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、576 は 64×9 だが、(576)12 は 810、つまり 90×9 である。(576)12を桁で分解すると、5×122 + 7×121 + 6 = 720 + 84 + 6 = 810 となる。
更に、十進法の 576÷9 = 64 も、十二進法では (400)12 ÷ (9)12 = (54)12 となる。

  • 十進法: 576 ÷ 9 = 64
  • 十二進法: (400)12 ÷ (9)12 = (54)12

576 を桁で分解すると、十進法では 5×102 + 7×101 + 6 = 500 + 70 + 6 で 576 となるが、十二進法では 4×122 で (400)12となる。(50)12 は 60 なので、4 を加えた (54)12 も 64 に等しい。

小数との置換表編集

以下の表に、十二進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。十二はと四では割り切れるがでは割り切れないため、五で割った際に循環小数になって割り切れない例が多数発生する。

十二進法の小数と除算
除数 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10
被除数が1 0.6 0.4 0.3 0.2497 0.2 0.186A35 0.16 0.14 0.12497 0.111 0.1
被除数が5 2.6 1.8 1.3 1 0.A 0.86A351 0.76 0.68 0.6 0.555 0.5
被除数が8 4 2.8 2 1.7249 1.4 1.186A35 1 0.A8 0.9724 0.888 0.8
被除数がA 5 3.4 2.6 2 1.8 1.5186A3 1.3 1.14 1 0.AAA 0.A
被除数が10
(十進法の12)
6 4 3 2.4972 2 1.86A351 1.6 1.4 1.2497 1.111 1
被除数が15
(十進法の17)
8.6 5.8 4.3 3.4972 2.A 2.5186A3 2.16 1.A8 1.84972 1.666 1.5
被除数が26
(十進法の30)
13 A 7.6 6 5 4.35186A 3.9 3.4 3 2.888 2.6
被除数が50
(十進法の60)
26 18 13 10 A 8.6A3518 7.6 6.8 6 5.555 5
被除数が76
(十進法の90)
39 26 1A.6 16 13 10.A35186 B.3 A 9 8.222 7.6
十二進法の小数と分数(五分割まで)
分数 1/2 (= 2/4) 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5
被除数が1 0.6 0.4 0.8 0.3 0.9 0.2497 0.4972 0.7249 0.9724
被除数が3 1.6 1 2 0.9 2.3 0.7249 1.2497 1.9724 2.4972
被除数が5 2.6 1.8 3.4 1.3 3.9 1 2 3 4
被除数が8 4 2.8 5.4 2 6 1.7249 3.2497 4.9724 6.4972
被除数が9 4.6 3 6 2.3 6.9 1.9724 3.7249 5.4972 7.2497
被除数が10
(十進法の12)
6 4 8 3 9 2.4972 4.9724 7.2497 9.7249
被除数が15
(十進法の17)
8.6 5.8 B.4 4.3 10.9 3.4972 6.9724 A.2497 11.7249
被除数が26
(十進法の30)
13 A 18 7.6 1A.6 6 10 16 20
被除数が50
(十進法の60)
26 18 34 13 39 10 20 30 40
被除数が76
(十進法の90)
39 26 50 1A.6 57.6 16 30 46 60
被除数が260
(十進法の360)
130 A0 180 76 1A6 60 100 160 200
無理数の換算表
主な無理数 十二進法 十進法
円周率 約3.1848 約3.1415
2の平方根 約1.4B79 約1.4142

乗算表編集

ここでは、(10)12を A 、(11)12を B と表記する。

乗算表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B
2 0 2 4 6 8 A 10 12 14 16 18 1A
3 0 3 6 9 10 13 16 19 20 23 26 29
4 0 4 8 10 14 18 20 24 28 30 34 38
5 0 5 A 13 18 21 26 2B 34 39 42 47
6 0 6 10 16 20 26 30 36 40 46 50 56
7 0 7 12 19 24 2B 36 41 48 53 5A 65
8 0 8 14 20 28 34 40 48 54 60 68 74
9 0 9 16 23 30 39 46 53 60 69 76 83
A 0 A 18 26 34 42 50 5A 68 76 84 92
B 0 B 1A 29 38 47 56 65 74 83 92 A1
倍数表
乗数 101 101の十進表記 102 102の十進表記 103 103の十進表記
1 10 12 100 144 1000 1728
2 20 24 200 288 2000 3456
3 30 36 300 432 3000 5184
4 40 48 400 576 4000 6912
5 50 60 500 720 5000 8640
6 60 72 600 864 6000 10368
7 70 84 700 1008 7000 12096
8 80 96 800 1152 8000 13824
9 90 108 900 1296 9000 15552
A A0 120 A00 1440 A000 17280
B B0 132 B00 1584 B000 19008

命数法編集

十二進命数法とは、12 を底とする命数法である。

数詞編集

自然言語で十二進命数法の数詞を持つものは少ない。ナイジェリアのジャンジ語[1] (Janji)、ビリ・ニラグ語[2] (Gbiri-Niragu)、グワンダラ語ニンビア方言[3] (Nimbia)、ピティ語[4] (Piti) などが十二進命数法のグループを作り[5]、またネパールのチェパン語[6] (Chepang) も十二進命数法を用いている[7]

10 ではなく 12 が底になった理由として、片手の人さし指から小指の計 12 個の節を親指で示す数え方が示唆されている[8]

以下にグワンダラ語ニンビア方言の数詞を示す[5]

1 da
2 bi
3 ugu
4 furu
5 biyar
6 shide
7 bo'o
8 tager
9 tanran
10 gwom
11 kwada
12 tuni
13 tuni mbe da
24 gume bi
25 gume bi ni da
143 gume kwada ni kwada
144 wo


ゲルマン語派の数詞は 12 以下と 13 以上とで構成が異なる。以下に英語ドイツ語スウェーデン語の数詞を示す。

英語 ドイツ語 スウェーデン語
10 ten zehn tio
11 eleven elf elva
12 twelve zwölf tolv
13 thirteen dreizehn tretton
14 fourteen vierzehn fjorton

11, 12 の数詞の語源はそれぞれ 1 余り、2 余りを意味する *ainlif, *twalif であり、十二進法ではなく十進法に基づく数詞だが、13 以上と構成が異なるのを十二進法の影響とする説がある。

英語の hundred など、現在 100 を意味する語は、中世までは 120 を意味することがあった(en:Long hundred を参照)。ロジバンは 10, 11, 12 に個別の数詞があり、十二進法に対応している(実際には十六進法にまで対応する)。

単位系編集

現在、十二進法はもっぱら単位系で使われている。数は十進記数法で 9, 10, 11 と表し、12144 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる。

単位の十二進法は、言語の数詞とは無関係に発生したと考えられる。1 年がほぼ 12 かであること(360 ÷ 30 = 12。満月新月の回数がほぼ 12 回)に因むとされる。メソポタミア文明ではこれが 1 年を 12 か月とする暦法となり、12 は 30 と同様に主に時間を示す際の基数となった。1 日 24 時間の 24 は 12 の 2 倍であり、六十進法60 は 12 と 30 の最小公倍数である。黄道十二宮はこれに基づく。中国十二支も黄道十二宮と同じように、循環する十二進法である。

また 12 は 3×4 であり、1 とその数以外の約数2, 3, 4, 6 の 計 4 個と多く、分割に便利である点も、十二進法の単位が用いられる一因となった。1 とその数以外の 10 の約数は 2 と 5 の 計 2 個しかない。例えば、通貨を3単位×4の十二進法にすると、1728 (= 123) の貨幣を 12 (= 121) と 36 (= 121×3、122÷4) と 144 (= 122) と 432 (= 122×3、123÷4) の四種類の貨幣に分けて、「432の貨幣が2枚」で二分割(1728÷2 = 864)したり、「432の貨幣が1枚 + 144の貨幣が1枚」で三分割(1728÷3 = 576)したり、「432の貨幣が1枚」で四分割(1728÷4 = 432)したり、「144の貨幣が1枚 + 36の貨幣が2枚」で八分割(1728÷8=216)したり、「144の貨幣が1枚 + 36の貨幣が1枚 + 12の貨幣が1枚」で九分割(1728÷9=192)したりすることが可能になる。後述のペンス通貨やアス通貨が、このような三分割と四分割を考慮した単位に該当する。

日本では、12 ヶ月を 1 年というのに対して、144 ヶ月 (= 12 年) を 1 回りという。

物の数を表すダース (12)、グロス (144 = 122)、グレートグロス (1728 = 123)、スモールグロス (120 = 12×10) という単位があり、西洋で用いられる。1971年2月15日まで、イギリスポンドは、1 ポンドは 240 ペンスであり、12 ペンスが 1 シリング、20 シリングが 1 ポンドであった。

この他にも、ヤード・ポンド法は十二進法が主流であり、長さの 1 フィート = 12 インチ = 144 ライン = 1728 ポイントである。同じく、1 トロイポンド = 12 トロイオンス = 144 スカラプル = 1728 シードである。プラモデルの縮尺に 1/144 (= 12-2) が多いのも、12 フィートすなわち 144 インチを逆数にしたサイズが由来である。

また、ローマ帝国の数詞や単位は十進法が通例であったが、アス (as) 通貨は異例で十二進法を想定した単位を設定した。アス通貨の下部単位として、1/2 アスのセミス (semis)、1/3 アスのトリエンス (triens)、2/3 アスのベス (bes)、1/4 アスのクォドランス (quadrans)、3/4 アスのドドランス (dodrans)、1/6 アスのセクスタンス (sextans)、1/12 アスのウンシア (uncia)、5/12 アスのクインクンクス (quincunx) が使用されており、中でも semis は「半」を意味する接頭辞 "semi-" の語源にもなっている。しかし、1/144 アス (= 1/12 ウンシア) や 12 アス (= 144 ウンシア) の単位は設定されず、1/24 アスのセミウンシア (semiuncia) と 2 アス (= 24 ウンシア)のデュポンディウス (dupondius) のみであった。

指数え編集

指数えにおいて、十二進法を用いることで通常よりも大きな数を数えることが可能である。親指が指標となり、各指の3つの指骨(末節骨 ・中節骨・基節骨)を小指から数える。片手で12まで数える事ができ、もう一方の手に繰り上げることによって144まで数えられる [9][10] (実際は十三進法を用いて168まで数えられるが一般的ではない)。

架空の世界での使用編集

SF作品でも、人類と異なる文明が十二進法を使っているとする設定はよく見られるものである[11]

H・G・ウェルズは『冬眠二百年』(When the Sleeper Wakes, 1899年)や『モダンユートピア』(A Modern Utopia, 1905年)で十二進法を使用し、12 = dozen, 144 (=122) = gross, 1728 (=123) = dozand, 20736 (=124) = myriad としている。

J・R・R・トールキンによる人工言語エルフ語 (Elvish) の数詞は十二進法である。

十二進法の推進編集

英米では十二進法を採用するよう主張する少数の人々がいる[12][13]。人間の指の本数に由来する原始的で二分割と五分割しかできない十進法より、三分割も四分割もできる十二進法の方が理に適っているとされるためである。これらの人々は、十二進法を表す語として、英語で通常使われる duodecimal ではなく、dozenal を使う。数字は、10 を X で、11 を E で、或いはその変形で表したり、10 を * で、11 を # で表したりする。なお、十進法以外の採用を進めようという主張は、近年ではコンピュータの二進法との相性から(三分割には適しないが)八進ないし十六進についても主張されている。

Unicode 8.0 では、十二進法のための10 (  = U+218A, 180度回転した2)と 11(  = U+218B, 180度回転した3)の2つの数字が符号位置を与えられた[14]。この2つの数字はアイザック・ピットマンの考案による。

脚注編集

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  1. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Janji”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=jni 2008年3月15日閲覧。 
  2. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Gbiri-Niragu”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=grh 2008年3月15日閲覧。 
  3. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Gwandara”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=gwn 2008年3月15日閲覧。 
  4. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Piti”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=pcn 2008年3月15日閲覧。 
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  6. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Chepang”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=cdm 2008年3月15日閲覧。 
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  8. ^ 西川善朗 (2002), ヒマラヤの満月と十二進法, オリジナルの2008年3月29日時点によるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20080329150110/http://www.kankyok.co.jp/nue/nue11/nue11_01.html 2007年12月16日閲覧。 
  9. ^ Ifrah, Georges (2000), The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer., John Wiley and Sons, p. 48, ISBN 0-471-39340-1 
  10. ^ Macey, Samuel L. (1989). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press. pp. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8. http://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92&lpg=PA92. 
  11. ^ 日本の小説では広瀬正の『マイナス・ゼロ』に登場するタイムマシンが十二進法を使っていて、登場人物が、進んだ文明の産物であろうかと推測している。
  12. ^ Dozenal Society of America, http://www.dozenal.org/ 2007年12月16日閲覧。 
  13. ^ Dozenal Society of Great Britain, http://www.dozenalsociety.org.uk/ 2007年12月16日閲覧。 
  14. ^ Number Forms”. The Unicode Consortium (2015年6月17日). 2015年8月31日閲覧。

関連項目編集