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二十進法

20を底とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法

二十進法（にじっしんほう、英: vigesimal）は、20 を底（てい）とし、底およびその冪を基準にして数を表す方法である。

記数法 編集

整数 編集

 
「20」を4で割ると5になる。小数も、1÷4 = 0.25 になる。
数列

二十進記数法は、二十を底とする位取り記数法である。二十進法の位取りでは、通常では 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J の計二十個の数字を用い、十から十九までを A から J までに充てて、二十を 10 、二十一を 11 と表記する。なお、B と 8 、I と 1 が紛らわしいことを理由に、B や I を飛ばして、十一を C と表記したり、十八を J や K と表記したりする例もある。

数字の意味する数は、左に一桁ずれると 20倍になり、右に一桁ずれると 1/20 になる。例えば、(14)20 という表記において、左の「1」は二十を表し、右の「4」は四を表し、合わせて「二十四」を意味する。桁の表示は、整数第二位は「二十の位」、整数第三位は「四百の位」となる。

本節では慣用に従い、通常のアラビア数字は十進数とし、二十進記数法の表記は括弧および下付の 20 で表す。必要に応じて、十進記数法の表記を括弧および下付の 10 で表す。二十進記数法で表された数を二十進数と呼ぶ。


数列の進み方
六進法 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 30 31 32
十進法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
十二進法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 12 13 14 15 16 17 18
二十進法 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10
六進法 1432 1433 1434 1435 1440 1441 1442 1443 1444 1445 1450 1451 1452
十進法 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392
十二進法 278 279 27A 27B 280 281 282 283 284 285 286 287 288
二十進法 J0 J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7 J8 J9 JA JB JC
六進法 1453 1454 1455 1500 1501 1502 1503 1504 1505 1510 1511 1512 1513
十進法 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405
十二進法 289 28A 28B 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299
二十進法 JD JE JF JG JH JI JJ 100 101 102 103 104 105

二十進法は「4×5＝10」となるので、数列は、4の倍数や5の倍数が進みやすいという傾向を持つ。従って、4で割り切れる十二進法（4×3＝10）や、5で割り切れる十進法（2×5＝10）との親和性が見られる。素因数は十進法と同じく2と5であるが、「4×奇数」で桁上がりする構造は十二進法と同じである。

また、7以降の素数は、一の位が 1, 3, 7, 9, B, D, H, J の八つの中のいずれか、即ち 5 と F を除く奇数になる。例えば：

  • 十進法の23 → 二十進法では13
  • 十進法の31 → 二十進法では1B
  • 十進法の53 → 二十進法では2D
  • 十進法の97 → 二十進法では4H
  • 十進法の139 → 二十進法では6J

となる。

イヌイット数字
𝋀 𝋁 𝋂 𝋃 𝋄 𝋅 𝋆 𝋇 𝋈 𝋉 𝋊 𝋋 𝋌 𝋍 𝋎 𝋏 𝋐 𝋑 𝋒 𝋓
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
 
マヤ数字
整数

二十進表記の整数は：

  • (17)20 = 27 (1×201 + 7)
  • (20)20 = 40 (2×201)
  • (2H)20 = 57 (2×201 + 17)
  • (3C)20 = 72 (3×201 + 12)
  • (4F)20 = 95 (4×201 + 15)
  • (74)20 = 144 (7×201 + 4)
  • (88)20 = 168 (8×201 + 8)
  • (DA)20 = 270 (13×201 + 10)
  • (100)20 = 400 (1×202)
  • (22F)20 = 855 (2×202 + 2×201 + 15)
  • (34F)20 = 1295 (3×202 + 4×201 + 15)
  • (468)20 = 1728 (4×202 + 6×201 + 8)
  • (4J9)20 = 1989 (4×202 + 19×201 + 9)
  • (50G)20 = 2016 (5×202 + 0×201 + 16)
  • (D2A)20 = 5250 (13×202 + 2×201 + 10)
  • (1000)20 = 8000 (1×203)
  • (2340)20 = 17280 (2×203 + 3×202 + 4×201)
  • (2BGG)20 = 20736 (2×203 + 11×202 + 16×201 + 16)
  • (4GHA)20 = 38750 (4×203 + 16×202 + 17×201 + 10)
  • (EBD7)20 = 116667 (14×203 + 11×202 + 13×201 + 7)
  • (10000)20 = 160000 (1×204)

を、それぞれ意味する。

整数の四則演算

様々なN進法における整数の四則演算は、二十進法では以下のようになる。

六進法→二十進法
  • 六進法の 5555 + 1 = 10000 → 二十進法では 34F + 1 = 34G （十進法では 1295 + 1 = 1296）
  • 六進法の 13000 - 112 = 12444 → 二十進法では 4H4 - 24 = 4F0 （十進法では 1944 - 44 = 1900）
  • 六進法の 430 × 23 = 15130 → 二十進法では 82 × F = 61A （十進法では 162 × 15 = 2430）
  • 六進法の 24000 ÷ 3 = 5200 → 二十進法では 8CG ÷ 3 = 2HC （十進法では 3456 ÷ 3 = 1152）
十進法→二十進法
  • 十進法の 95 + 15 = 110 → 二十進法では 4F + F = 5A
  • 十進法の 2016 - 27 = 1989 → 二十進法では 50G - 17 = 4J9
  • 十進法の 72 × 28 = 2016 → 二十進法では 3C × 18 = 50G
  • 十進法の 1728 × 10 = 17280 → 二十進法では 468 × A = 2340
  • 十進法の 400 ÷ 4 = 100 → 二十進法では 100 ÷ 4 = 50
  • 十進法の 2016 ÷ 12 = 168 → 二十進法では 50G ÷ C = 88
十二進法→二十進法
  • 十二進法の 103 = 1000 → 二十進法では C3 = 468
  • 十二進法の 49 + 9 = 56 → 二十進法では 2H + 9 = 36 （十進法では 57 + 9 = 66）
  • 十二進法の 1200 + 70 = 1270 → 二十進法では 50G + 44 = 550 （十進法では 2016 + 84 = 2100）
  • 十二進法の 10000 - 100 = BB00 → 二十進法では 2BGG - 74 = 2B9C （十進法では 20736 - 144 = 20592）
  • 十二進法の 1140 × 9 = A000 → 二十進法では 4G0 × 9 = 2340 （十進法では 1920 × 9 = 17280）
  • 十二進法の 3056 ÷ 19 = 18A → 二十進法では D2A ÷ 11 = CA （十進法では 5250 ÷ 21 = 250）

二十進法と十進法が決定的に異なる点は、「10÷4 = 5」「5の3倍がF」「十進法の110が5A」という点である。二十進法では百は「50」と表記され、十二進法で「30」と表記される三十六と同等の扱いになる。二十進法での「4F＋F = 5A」の構図も、十二進法での「49＋9 = 56」と同じ構図になる。

数字の使用例

マヤ文明では、二十進法の数詞に合わせて二十進記数法が用いられていた。マヤの数詞は五進法を補助的に含んでおり、数字にもそれが反映されている。貝殻で零、点で一、横棒で五を表し、二十に至ると桁を繰り上げる。桁は、大きい方が上で、小さい方が下となる。例えば、二十は貝殻の上に点一個で表記され、七十二は上に「三」(点三個)と下に「十二」(横棒二個の上に点二個)で表記され、二千十六は上段が「五」(横棒一個)と中段が「零」(貝殻)と下段が「十六」(横棒三個の上に点一個)で構成され、八千百六は最上段が「一」(点一個)、上から二段目が「零」(貝殻)、上から三段目が「五」(横棒一個)、最下段が「六」(横棒一個の上に点一個)で表記される。

この外には、イヌイット数字（en:Kaktovik Inupiaq numerals）も二十進法を用いており、結び目模様が「零」、縦楔が「一」、横楔が「五」を表しており、一桁は二段構成となる。この表記法では、＼が「一」、Ｖが「二」、Ｗが「四」、＞が「十」、"＞"と"Ｖ"で「十二」となり、二十は「上段が"＼"で下段が"結び目模様"」として表記される。二十以後も、二階が「"＞"と"Ｖ"」で一階が「Ｗ」であれば二百四十四｛(C4)20＝(244)10｝を意味する。

累乗数の換算表 編集

二十進数で表記した二十の累乗数と、それを十二進数（底が四の三倍）、十進数（底が二の五倍）、六進数（底が二の三倍）に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判りやすくするため、桁は四つごとに区切る。

二十進法は底が四の五倍であり、「少ない桁で最大限を確保する」という性質から、大きな数の表記に度々用いられてきた。それ故に、二十進法は桁の繰り上がりが遅く、これが長所にも短所にもなっている。よって、「五の次で桁上がり」「少ない数字で楽に済ませる」の六進法とは長短が逆転する。例えば、六進法は三分割や九分割は可能だが、一桁での四分割と五分割はできず、数字の種類が少ない代わりに桁数が多くなる。逆に、二十進法は三分割や九分割ができないが、一桁で四分割と五分割が可能であり、数字の種類が多い代わりに桁数が少なくなる。六未満｛(2×3)－1 = 5｝の数による矩形数で形成されるN進法は、六進法（2×3）、十二進法（3×4）、二十進法（4×5）の三つであり、二十進法が最大である。

複数の素因数を持つN進法の中で、二十進法の桁の繰り上がりは、三乗レベルで十二進法より五倍遅く、十進法より八倍遅く、六進法より四十倍遅い｛11C0(20) = 5000(12) = 8640(10) = 104000(6)｝。四乗レベルでは十二進法より八倍遅く、十進法より十六倍遅い｛10EE8(20) = 80000(12) = 165888(10)｝。億レベルで二十の累乗数は、(6400万)10 に当たる (106)20 が最も近い。

累乗数の接近では、十二の累乗数と二十の累乗数が (300万)10前後で最も接近し、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する｛1000000(12) = ID4J4(20) = 2985984(10) , 10A3A28(12) = 100000(20) = 3200000(10)｝。この他には、六の五乗、二十の三乗、十の四乗の三つが 1000(20)（= 8000(10) = 101012(6)}）前後で最も接近する｛100000(6) = J8G(20) = 7776(10) , 114144(6) = 1500(20) = 10000(10)｝。

二十の累乗数の換算
指数 二十進数 十二進数に換算 十進数に換算 六進数に換算
1 10 18 20 32
2 100 294 400 1504
3 1000 4768 8000 10 1012
4 1 0000 7 8714 16 0000 323 2424
5 10 0000 10A 3A28 320 0000 1 5233 0452
6 100 0000 1952 5054 6400 0000 102 0342 4144
7 1000 0000 2 B880 48A8 12 8000 0000 3310 0250 1532
8 1 0000 0000 4B 6547 A994 256 0000 0000 15 4321 3250 2304
9 10 0000 0000 832 8B92 0368 5120 0000 0000 1031 1131 3252 2212
A 100 0000 0000 1 1946 B734 5B14 10 2400 0000 0000 3 3440 1051 3355 5224
B 1000 0000 0000 1A B777 4175 A628 204 8000 0000 0000 200 3323 4532 1154 0052
C 1 0000 0000 0000 323 4882 A859 6454 4096 0000 0000 0000 1 0415 5244 2312 2252 2544

他のN進数との互換 編集

小数部分を他のN進数から二十進数に換算する場合には、整数部分はそのまま二十進数に変換し、小数部分は二十の累乗数を他のN進数に換算した数値を掛ける。

六進数→二十進数

（例）六進数 1405.1241513（太陽年）

  • 整数：1405(6) = I5(20)（十進換算値は365）
  • 小数の分母：10000000(6) → 3232424(6)（二十進換算値：1EJGG(20) → 10000(20)、十進換算値：279936 → 160000）
  • 1241513 × 0.3232424 = 455222.0000000 → 455222(6)
  • 455222(6) = 4GHA(20)（十進換算値は38750）

よって、1405.1241513(6) = I5.4GHA(20) となる。

十進数→二十進数

（例）十進数 3.14159265（円周率）

  • 小数の分母：100000000(10) → 64000000(10)（二十進換算値：1B50000(20) → 1000000(20)）
  • 14159265 × 0.64000000 = 9061929.6 → 9061929(10)
  • 9061929(10) = 2GCEG9(20)

よって、3.14159265(10) ≒ 3.2GCEG9(20) となる。

十二進数→二十進数

（例）十二進数 2A.639（倍率、細分値）

  • 整数：2A(12) = 1E(20)（十進換算値は34）
  • 小数の分母：1000(12) → 4768(12)（二十進換算値：468(20) → 1000(20)、十進換算値：1728 → 8000）
  • 639 × 4.768 = 2528.4 → 2528(12)
  • 2528(12) = AA8(20)

よって、2A.639(12) ≒ 1E.AA8(20) となる。

十六進数→二十進数

（例）十六進数 AB.89（倍率、細分値）

  • 整数：AB(16) = 8B(20)（十進換算値は171）
  • 小数の分母：100(16) → 27100(16)（二十進換算値：CG(20) → 10000(20)、十進換算値：256 → 160000）
  • 89 × 271 = 14E79 → 14E79(16)
  • 14E79(16) = AE15(20)

よって、AB.89(16) = 8B.AE15(20) となる。

小数 編集

桁が一つ動く度に数が20倍変わるため、小数第一位は「二十分の一の位」、小数第二位は「四百分の一の位」となる。従って、二十進法の小数では：

  • (0.1)20 = 1/20 (1×20-1)
  • (0.5)20 = 5/20 (5×20-1)
  • (0.G)20 = 16/20 (16×20-1)
  • (0.01)20 = 1/400 (1×20-2)
  • (0.0C)20 = 12/400 (12×20-2)
  • (0.7A)20 = 150/400 (7×20-1 + 10×20-2)
  • (0.CF)20 = 255/400 (12×20-1 + 15×20-2)
  • (0.001)20 = 1/8000 (1×20-3)

を、それぞれ意味する。

計算例 編集

位数の関係

小数数の (22.F)20 は「855/20」を意味し、小数の (2.2F)20は「855/400」という意味になる。従って、十進数の 42.75 は二十進数では (22.F)20 となり、十進数の 2.1375 は二十進数では (2.2F)20となる。前者は 42 + 75/100 (= 3/4) と 42 + 15/20 (= 3/4) が同値となり、後者は 2 + 1375/10000 (= 1375/104 = 11/80) と 2 + 55/400 (= 55/202 = 11/80) が同値になるからである。

  • (22F)20 = 2×202 + 2×201 + 15 = (855)10
  • (22.F)20 = 2×201 + 2 + 15×20-1 = 42 + 15/20 = 855/20 = (42.75)10
  • (2.2F)20 = 2 + 2×20-1 + 15×20-2 = 2 + 40/400 + 15/400 = 855/400 = (2.1375)10

同じく、(25)20 は (45)10 を意味し、(2.5)20 は「45/20」、即ち (2.25)10 という意味になる。

  • (250)20 = 2×202 + 5×201 = (900)10
  • (25)20 = 2×201 + 5 = (45)10
  • (2.5)20 = 2 + 5×20-1 = 45/20 = (2.25)10
  • (0.25)20 = 2×20-1 + 5×20-2 = 40/400 + 5/400 = 45/400 = (0.1125)10

二十進数の (22.F)20÷(J)20 の商は (2.5)20 となるが、十進数では以下に相当する。

  • （数式A）二十進数：(22.F)20÷(J)20 = (2.5)20
  • （数式A）十進数：42.75÷19 = 2.25
  • （数式B）二十進数：(22F)20÷(J)20 = (25)20
  • （数式B）十進数：855÷19 = 45
素因数に5が含まれない累乗数の除算

六や十二の累乗数、例えば十二進法の100(12)（＝144(10)）や六進法の1000(6)（＝216(10)）や、二の累乗数進法による累乗数、例えば十六進法の100(16)（＝256(10)）などは、5で割り切れないが、二十進法では割り切れる（十進法も同様）。特に、六進表記や十二進表記による六や十二の累乗数は、三や九で割り切れる一方、五や十五で割り切れないが、二十進表記では五や十五で割り切れる。

  • 1/5グロス（十進換算：144 ÷ 5）
    • 十二進法：(100)12 ÷ 5 = 24.9724…
    • 二十進法：(74)20 ÷ 5 = (18.G)20
  • 1大グロス ÷ 十五（十進換算：1728 ÷ 15）
    • 十二進法：(1000)12 ÷ (13)12 = 97.2497…
    • 二十進法：(468)20 ÷ (F)20 = (5F.4)20
  • 28 ÷ 5（十進換算：256 ÷ 5）
    • 十六進法：(100)16 ÷ 5 = 33.3333…
    • 二十進法：(CG)20 ÷ 5 = (2B.4)20
  • 65 ÷ 十五（十進換算：7776 ÷ 15）
    • 六進法：(100000)6 ÷ (23)6 = 2222.2222…
    • 二十進法：(J8G)20 ÷ (F)20 = (15I.8)20

また、素因数が2と5なので、冪数以外でも、5が因数に含まれない数が被除数になると、割り切れる場合がある。

  • (36×B) ÷ (32×5)（十進法換算で 8019 ÷ 45）
    • 六進法：(101043)6 ÷ (113)6 = 454.1111…
    • 九進法：(12000)9 ÷ (50)9 = 217.1717…
    • 二十進法：(100J)20 ÷ (25)20 = (8I.4)20

一桁小数による分割 編集

二十進法では (0.1)20 が「二十分の一」になるため、(0.4)20 は 1/5 になり、(0.5)20 は 1/4 になり、(0.A)20（十進法で10/20）は 1/2 になる。より派生して、(0.F)10（十進法で15/20）は 3/4 に、(0.8)20は 2/5 に、(0.C)20（十進法で12/20）は 3/5 に、(0.G)10（十進法で16/20）は 4/5 になる。

従って、ある数に (0.4)20 を掛けると1/5になり、(0.5)20を掛けると1/4になり、(0.C)20を掛けると3/5になり、(0.F)20 を掛けると3/4になる。このように、二十進法では、一桁小数で四分割と五分割が可能である（ただし、三分割はできない）。

「半分」を意味する表現も、十進法での「五分五分」は、二十進法では「十分十分」となる。割分厘も、十進法の「2割5分」は「0.5」「5割」となり、十進法で3/8を意味する「3割7分5厘」は「0.7A」「(7割10分)10」「7割A分」で小数第二位に収まる。その他にも、四分割では「5：F」というように「1/4：3/4」、長袖と半袖の中間である3/4の袖を「十五分袖」（ABCと同じく十干を用いるなら「戊分袖」）；五分割では「8：C」が「2/5：3/5」、「4：G」が「1/5：4/5」といった対比や、「四公六民」を「八公十二民」または「八公乙民」(十干を用いる場合)といった対比も可能になる。

別のN進法と互換できる一桁小数として、二十進法の0.5は、十二進法の0.3と同値になる（両方とも1/4が奇数）。同じく、二十進法の0.4は、十進法の0.2と同じ値になる（両方とも1/5）。

(I0)20（十進法の360、十二進法の260）を例に挙げる。

  • 4と0.4、8と0.8で対比
    • 除算：(I0)20 ÷ (5)20 = (3C)20（十進法：360 ÷ 5 = 72。十二進法：260 ÷ 5 = 60）
    • 一桁小数を掛ける：(I0)20 × (0.4)20 = (3C)20（十進法：360の 1/5 は72。十二進法：260の 1/5 は60）
    • 一桁小数を掛ける：(I0)20 × (0.8)20 = (74)20（十進法：360の 2/5 は144。十二進法：260の 2/5 は100）
    • 一桁整数を掛ける：(I)20 × (4)20 = (3C)20（十進法：18×4 = 72。十二進法：16×4 = 60）
    • 一桁整数を掛ける：(I)20 × (8)20 = (74)20（十進法：18×8 = 144。十二進法：16×8 = 100）
  • 同値の一桁小数で対比
    • 除算：(I0)20 ÷ (4)20 = (4A)20（十進法：360 ÷ 4 = 90。十二進法：260 ÷ 4 = 76）
    • 一桁小数を掛ける：(I0)20 × (0.5)20 = (4A)20（十進法：360の 1/4 は90。十二進法：260×0.3 = 76）
    • 一桁小数を掛ける：(I0)20 × (0.F)20 = (DA)20（十進法：360の 3/4 は270。十二進法：260×0.9 = 1A6）

同じく、桁の繰り上がりの例として、(4A)20（十進法の90）を用いる。

  • 乗算：(4A)20 × (10)20 = (4A0)20（十進法：90×20 = 1800。十二進法：76×18 = 1060）
  • 除算：(4A0)20 ÷ (5)20 = (I0)20（十進法：1800÷5 = 360。十二進法：1060÷5 = 260）
  • 一桁小数を掛ける：(4A0)20 × (0.4)20 = (I0)20（十進法：1800の 1/5 は360。十二進法：1060の 1/5 は260）
  • 一桁小数を掛ける：(4A0)20 × (0.C)20 = (2E0)20（十進法：1800の 3/5 は1080。十二進法：1060の 3/5 は760）
  • 除算：(4A0)20 ÷ (4)20 = (12A)20（十進法：1800 ÷ 4 = 450）
  • 一桁小数を掛ける：(4A0)20 × (0.5)20 = (12A)20（十進法：1800の 1/4 は450。十二進法：1060×0.3 = 316）
  • 一桁小数を掛ける：(4A0)20 × (0.A)20 = (250)20（十進法：1800の 1/2 は900。十二進法：1060×0.6 = 630）

小数との置換表 編集

以下の表に、二十進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。二十は四と五では割り切れるが三では割り切れないので、三分割した際に循環小数になりやすい。

また、十進法は「10 - 1」が9で3の冪数になり、m/27の小数が37の倍数三桁が循環するのに対して、二十進法は「10 - 1」がJ（十進法の19）で3の冪数ではないので、1/9の循環小数は 0.248HFB…で六桁になり、三桁ごとに「248＝888(10)の倍数か、その近隣の数」が現れる。24は十進法の44（＝11×4）、248は十進法の888（＝37×3×8）、HFBは十進法の7111（二十進換算で HF4 + 7 = HFB。HF4(20) = 7104(10) = (888×8)(10)）、6D6は十進法の2666（二十進換算で 6D4 + 2 = 6D6。6D4(20) = 2664(10) = (888×3)(10)）となるが、これは二十の累乗数の六進表記からも引き出せる。1/9の近似値は二桁なら 100(20) = 1504(6) → (11×4 = 44)(10) = 24(20)、三桁なら 1000(20) = 101012(6) → (37×3×8 = 888)(10) = 248(20) となる。
(1/27)10の近似値も、1000(20) = 101012(6) から (37×8 = 296)(10) = EG(20) となり、循環節が「0EG 5IA 782 J53 E19 CBH」の十八桁だが、三桁ごとに「EG＝296(10)の倍数か、その近隣の数」が現れる。先頭九桁を見ると、EG(20)＝296(10)の倍数は、5IA(20)＝2370(10)の近くに5I8(20)＝2368(10)（= (296×8)(10)）が、782(20)＝2962(10)の近くに780(20)＝2960(20)（= (296×10)(10)）が位置している。

B（十一）以後の素数は、D（十三）、H（十七）、J（十九）となる。このように、三を漏らしても四と五を約数に入れていることから、二十進法は「大から小へ」の分割法を採っているとも言える。

二十進法の除算の特徴が現れる例は、「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンが代表的である。このパターンでは、(10)20以下の3の倍数で割り切れない数は9とI（十八）、4の倍数は(14)20＝(24)10まで全てで割り切れ、5の倍数は(1A)20＝(30)10までの全てで割り切れる例になる。

二十進法の小数と除算（二分割から十分割まで）
除数 2 3 4 5 6 7 8 9 A
被除数が1 0.A 0.6D6D… 0.5 0.4 0.36D6D… 0.2H2H… 0.2A 0.248HFB… 0.2
被除数が3 1.A 1 0.F 0.C 0.A 0.8B8B… 0.7A 0.6D6D… 0.6
被除数が8 4 2.D6D6… 2 1.C 1.6D6D… 1.2H2H… 1 0.HFB248… 0.G
被除数がD
（十進法の13）		 6.A 4.6D6D… 3.5 2.C 2.36D6D… 1.H2H2… 1.CA 1.8HFB24… 1.6
被除数がI
（十進法の18）		 9 6 4.A 3.C 3 2.B8B8… 2.5 2 1.G
被除数が10
（十進法の20）		 A 6.D6D6… 5 4 3.6D6D… 2.H2H2… 2.A 2.48HFB2… 2
被除数が13
（十進法の23）		 B.A 7.D6D6… 5.F 4.C 3.GD6D6… 3.5E5E… 2.HA 2.B248HF… 2.6
被除数が1A
（十進法の30）		 F A 7.A 6 5 4.5E5E… 3.F 3.6D6D… 3
被除数が30
（十進法の60）		 1A 10 F C A 8.B8B8… 7.A 6.D6D6… 6
被除数が4A
（十進法の90）		 25 1A 12.A I F C.H2H2… B.5 A 9
被除数が74
（十進法の144）		 3C 28 1G 18.G 14 10.B8B8… I G E.8
被除数がC9
（十進法の249）		 64.A 43 32.5 29.G 21.A 1F.B8B8… 1B.2A 17.D6D6… 14.I
被除数が100
（十進法の400）		 A0 6D.6D6D… 50 40 36.D6D6… 2H.2H2H… 2A 24.8HFB24… 20
被除数が468
（十進法の1728）		 234 18G 11C H5.C E8 C6.H2H2… AG 9C 8C.G
二十進法の小数と除算（十一分割から二十分割まで）
除数 B C D E F G H I J 10
1 0.1G759 0.1D6D6 0.1AF7DGI94C63 0.18B8B 0.16D6D 0.15 0.13ABF5HCI… 0.1248HFB 0.111 0.1
3 0.59167 0.5 0.4C631AF7DGIG 0.45E5E 0.4 0.3F 0.3ABF5HCIG… 0.36D6D 0.333 0.3
8 0.EAI3C 0.D6D6 0.C631AF7DGI94 0.B8B8 0.AD6D6 0.A 0.984E2713A… 0.8HFB24 0.888 0.8
D
（1310）		 1.3CEAI 1.1D6D6 1 0.IB8B8 0.H6D6D 0.G5 0.F5HCIG984… 0.E8HFB24 0.DDD 0.D
I
（1810）		 1.CEAI3 1.A 1.7DGI94C631AF 1.5E5E 1.4 1.2A 1.13ABF5HCI… 1 0.III 0.I
10
（2010）		 1.G7591 1.D6D6 1.AF7DGI94C631 1.8B8B 1.6D6D 1.5 1.3ABF5HCIG… 1.248HFB 1.111 1
13
（2310）		 2.IG759 1.I6D6D 1.F7DGI94C631A 1.CH2H2 1.AD6D6 1.8F 1.713ABF5HC… 1.5B248HF 1.444 1.3
1A
（3010）		 2.EAI3C 2.A 2.631AF7DGI94C 2.2H2H 2 1.HA 1.F5HCIG984… 1.D6D6 1.BBB 1.A
30
（6010）		 5.91G75 5 4.C631AF7DGI94 4.5E5E 4 3.F 3.ABF5HCIG9… 3.6D6D 3.333 3
4A
（9010）		 8.3CEAI 7.A 6.I94C631AF7DG 6.8B8B 6 5.CA 5.5HCIG984E… 5 4.EEE 4.A
74
（14410）		 D.1G759 C B.1AF7DGI94C63 A.5E5E 9.C 9 8.984E2713A… 8 7.BBB 7.4
C9
（24910）		 12.CEAI3 10.F J.31AF7DGI94C6 H.FE5E5 G.C F.B5 E.CIG984E27… D.GD6D6 D.222 C.9
100
（40010）		 1G.7591G 1D.6D6D 1A.F7DGI94C631A 18.B8B8 16.D6D6 15 13.ABF5HCIG9… 12.48HFB2 11.111 10
468
（172810）		 7H.1G759 74 6C.I94C631AF7DG 63.8B8B 5F.4 58 51.CIG984E27… 4G 4A.III 46.8
二十進法の小数と分数（五分割まで）
分数 1/2 (= 2/4) 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5
被除数が1 0.A 0.6D6D… 0.D6D6… 0.5 0.F 0.4 0.8 0.C 0.G
被除数が3 1.A 1 2 0.F 2.5 0.C 1.4 1.G 2.8
被除数が8 4 2.D6D6… 5.6D6D… 2 6 1.C 3.4 4.G 6.8
被除数がD
（十進法の13）		 6.A 4.6D6D… 8.D6D6… 3.5 9.F 2.C 5.4 7.G A.8
被除数がI
（十進法の18）		 9 6 C 4.A D.A 3.C 7.4 A.G E.8
被除数が10
（十進法の20）		 A 6.D6D6… D.6D6D… 5 F 4 8 C G
被除数が13
（十進法の23）		 B.A 7.D6D6… F.6D6D… 5.F H.5 4.C 9.4 D.G I.8
被除数が1A
（十進法の30）		 F A 10 7.A 12.A 6 C I 14
被除数が30
（十進法の60）		 1A 10 20 F 25 C 14 1G 28
被除数が4A
（十進法の90）		 25 1A 30 12.A 37.A I 1G 2E 3C
被除数がI0
（十進法の360）		 90 60 C0 4A DA 3C 74 AG E8
無理数の換算表
主な無理数 二十進法 十二進法 十進法
円周率 3.2GCEG9 GBHB74… 3.184809 493B86… 3.141592 653589…
2の平方根 1.85DE37 JGEJA8… 1.4B7917 0A07B7… 1.414213 562373…
3の平方根 1.ECG82B DDEG68… 1.894B97 BB967B… 1.732050 807568…
5の平方根 2.4E8AHA B3J9F4… 2.29BB13 254051… 2.236067 977499…
黄金比 1.C7458F 5BJ9F4… 1.74BB67 728022… 1.618033 988749…
5の冪数の逆数（分子・分母は十進換算値）
冪指数 -1 (1/5) -2 (1/25) -3 (1/125) -4 (1/625) -5 (1/3125) -6 (1/15625)
二十進小数 0.4 0.0G 0.034 0.00CG 0.002B4 0.000A4G
十進小数 0.2 0.04 0.008 0.0016 0.00032 0.000064
二十進小数の分子 4 16 64 256 1024 4096
十進小数の分子 2 4 8 16 32 64
二十進小数の分母 20 400 8000 160000 3200000 64000000
十進小数の分母 10 100 1000 10000 100000 1000000
2の冪数の逆数（分子・分母は十進換算値）
冪指数 -1 (1/2) -2 (1/4) -3 (1/8) -4 (1/16) -5 (1/32) -6 (1/64) -7 (1/128) -8 (1/256)
二十進小数 0.A 0.5 0.2A 0.15 0.0CA 0.065 0.032A 0.01B5
十進小数 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625
六進小数 0.3 0.13 0.043 0.0213 0.01043 0.003213 0.0014043 0.00050213
二十進小数の分子 10 5 50 25 250 125 1250 625
十進小数の分子 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625
六進小数の分子 3 9 27 81 243 729 2187 6561
二十進小数の分母 20 20 400 400 8000 8000 160000 160000
十進小数の分母 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000
六進小数の分母 6 36 216 1296 7776 46656 279936 1679616

このように、除数が2の冪数の割り算における分子・分母の数値は、二十進法は十進法よりも六進法に近い。これは、二十（4×5）と六（2×3）が共に矩形数だからである。例えば、2-6の小数の分子・分母は、二十進法と六進法は約6倍しか離れていないが、六進法と十進法は約21(10)倍の差で、二十進法と十進法は125(10)倍も離れている。

計算表 編集

ここではスキップ無しで、(11)10を B 、(18)10を I 、(19)10を J と表記する。

二十進法は「5×4＝10」という「奇数の四倍」進法なので、十進法（5×2＝10）と十二進法（3×4＝10）の応用編となる。二十進法の乗算を覚える要領として、以下の点が挙げられる。

主要の段
  • 半数はA（＝十）の段。
  • m/4 となる奇数｛5とF(＝十五)｝は、4の倍数を掛けると一の位が0になる。1/4となる5の段は一の位が5→A→F→0→5で循環し、3/4となるFの段は一の位がF→A→5→0→Fで循環する。
  • 4の倍数｛4、8、C(＝十二)、G(＝十六)｝は、5の倍数を掛けると一の位が0になる。1/5となる4の段は一の位が4→8→C→G→0→4で循環、2/5となる8の段は一の位が8→G→4→C→0→8で循環、3/5となるCの段は一の位がC→4→G→8→0→Cで循環、4/5となるGの段は一の位がG→C→8→4→0→Gで循環する。
その他の段
  • 他の段は、5の倍数を掛けると一の位が5, A, F, 0のどれかになる。
  • 他の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4, 8, C, G, 0のどれかになる。
  • 末尾となるJ（＝十九）の段は、一の位と二十の位の和がJになる。
  • 10－2となるI（＝十八）の段は、一の位は2ずつ減る。一の位はI→G→E→C→A→8→6→4→2→0の順に変化する。このうち、4の倍数を掛けると（即ち七十二の倍数）、一の位がCの段と同じくC→4→G→8→0→Cの順に変化する（同様に十二進法だと、七十二の倍数は一の位が0で、十二の位が6→0→6で循環する）。
  • 9の段は、偶数を掛けると、一の位の数は2ずつ減る。そして、4の倍数を掛けると、一の位はG→C→8→４→0の順に変化する。
  • B（＝十一）の段は、偶数を掛けると、二十の位は一の位の数の半分になる（例：(12)20＝(22)10）。そして、4の倍数を掛けると、一の位は4→8→C→G→0の順に変化する。
  • 3の段は、4の倍数を掛けると、一の位がC→4→G→8→0の順に変化する。これに対して、6の段は、4の倍数を掛けると、一の位が4→8→C→G→0の順に変化する。
  • 7の段とE（＝十四）の段は、3の倍数を掛けるとゾロ目になる。これは、(11)20＝(21)10 になるため。
加算表
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A A B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B B C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
C C D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
D D E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C
E E F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D
F F G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E
G G H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F
H H I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G
I I J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H
J J 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1I
乗算表
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I J
2 0 2 4 6 8 A C E G I 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 1G 1I
3 0 3 6 9 C F I 11 14 17 1A 1D 1G 1J 22 25 28 2B 2E 2H
4 0 4 8 C G 10 14 18 1C 1G 20 24 28 2C 2G 30 34 38 3C 3G
5 0 5 A F 10 15 1A 1F 20 25 2A 2F 30 35 3A 3F 40 45 4A 4F
6 0 6 C I 14 1A 1G 22 28 2E 30 36 3C 3I 44 4A 4G 52 58 5E
7 0 7 E 11 18 1F 22 29 2G 33 3A 3H 44 4B 4I 55 5C 5J 66 6D
8 0 8 G 14 1C 20 28 2G 34 3C 40 48 4G 54 5C 60 68 6G 74 7C
9 0 9 I 17 1G 25 2E 33 3C 41 4A 4J 58 5H 66 6F 74 7D 82 8B
A 0 A 10 1A 20 2A 30 3A 40 4A 50 5A 60 6A 70 7A 80 8A 90 9A
B 0 B 12 2D 24 2F 36 3H 48 4J 5A 61 6C 73 7E 85 8G 97 9I A9
C 0 C 14 1G 28 30 3C 44 4G 58 60 6C 74 7G 88 90 9C A4 AG B8
D 0 D 16 1J 2C 35 3I 4B 54 5H 6A 73 7G 89 92 9F A8 B1 BE C7
E 0 E 18 22 2G 3A 44 4I 5C 66 70 7E 88 92 9G AA B4 BI CC D6
F 0 F 1A 25 30 3F 4A 55 60 6F 7A 85 90 9F AA B5 C0 CF DA E5
G 0 G 1C 28 34 40 4G 5C 68 74 80 8G 9C A8 B4 C0 CG DC E8 F4
H 0 H 1E 2B 38 45 52 5J 6G 7D 8A 97 A4 B1 BI CF DC E9 F6 G3
I 0 I 1G 2E 3C 4A 58 66 74 82 90 98 AG BE CC DA E8 F6 G4 H2
J 0 J 1I 2H 3G 4F 5E 6D 7C 8B 9A A9 B8 C7 D6 E5 F4 G3 H2 I1
倍数表
乗数 101 101の十進表記 102 102の十進表記 103 103の十進表記
1 10 20 100 400 1000 8000
2 20 40 200 800 2000 16000
3 30 60 300 1200 3000 24000
4 40 80 400 1600 4000 32000
5 50 100 500 2000 5000 40000
6 60 120 600 2400 6000 48000
7 70 140 700 2800 7000 56000
8 80 160 800 3200 8000 64000
9 90 180 900 3600 9000 72000
A A0 200 A00 4000 A000 80000
B B0 220 B00 4400 B000 88000
C C0 240 C00 4800 C000 96000
D D0 260 D00 5200 D000 104000
E E0 280 E00 5600 E000 112000
F F0 300 F00 6000 F000 120000
G G0 320 G00 6400 G000 128000
H H0 340 H00 6800 H000 136000
I I0 360 I00 7200 I000 144000
J J0 380 J00 7600 J000 152000

命数法 編集

二十進命数法は、20 を底とする命数法である。

数詞 編集

自然言語で二十進命数法の数詞を持つものは比較的多く、また世界中に散らばっている。十進法が手の指の数に由来するのと同じように、二十進法は手足の指の総和（5本×4ヶ所＝20本）に由来する。二十進法の数詞では、1 から 20 まで独立の単語が 20 個あることは希で、内部に五進法または十進法を補助的に含んでいる。

最も体系的な二十進法は、メソアメリカに見られる。例えばマヤ語族のツォツィル語 (Tzotzil)やユト・アステカ語族のナワトル語[1]などがある。サポテカ文字、ラ・モハラの文字、マヤ文字などの記数法も上記のように点と棒を使った二十進表記であった。マヤの長期暦では20日をウィナルといい、1年すなわち360日の周期（トゥン）は20日×18ヶ月で構成された。トゥンより上の単位も二十進法に則し、20トゥンをカトゥン、400トゥン (= 202トゥン) をバクトゥンと呼んだ。

メソアメリカには、二十の累乗数にも個別の数詞や絵文字が命名されている。

メソアメリカ　二十の累乗数を意味する数詞
十進表記 十進指数表記 マヤ数詞 ナワトル語 ナワトル語語根 アステカ絵文字
1 200 Hun Se Ce  
20 201 K'áal Sempouali Pohualli  
400 202 Bak Sentsontli Tzontli  
8000 203 Pic Senxikipili Xiquipilli  
160000 204 Calab Sempoualxikipili Pohualxiquipilli -
320万 205 Kinchil Sentsonxikipili Tzonxiquipilli -
6400万 206 Alau Sempoualtzonxikipili Pohualtzonxiquipilli -

ブータンのゾンカ数字（en:Dzongkha numerals）も命数法に二十進法を用いており、累乗数は十六万（= 204）まで存在する。なお、十九までの数は、補助的に十進法を用いている。

ゾンカ数字の数詞（二十まで）
十進表記 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二十進表記 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A
数詞 ciː ˈɲiː sum ʑi ˈŋa ɖʱuː dyn ɡeː ɡuː cu-tʰãm
十進表記 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
二十進表記 B C D E F G H I J 10
数詞 cu-ci cu-ɲi cu-sum cu-ʑi ce-ŋa cu-ɖu cup-dỹ cop-ɡe cy-ɡu kʰe ciː
ゾンカ数字の数詞（二十一以降）
十進表記 二十進表記 数詞 十進表記による分解
30 1A kʰe pɟʱe-da ˈɲiː 20×2 - 10
40 20 kʰe ˈɲiː 20×2
50 2A kʰe pɟʱe-da sum 20×3 - 10
100 50 kʰe ˈŋa 20×5
200 A0 kʰe cutʰãm 20×10
300 F0 kʰe ceŋa 20×15
400 100 ɲiɕu 202
800 200 ɲiɕu ɲi 202×2
8000 1000 kʰecʰe 203
160000 10000 jãːcʰe 204

アジアではアイヌ語、ブルシャスキ語などがある。アイヌ語では 40 を tu-hotnep (2×20)、100 を asikne-hotnep (5×20) という。減算も一般的で、90 を wanpe easikne-hotnep (あと 10 で 5×20) と呼ぶ。

ヨーロッパでは、バスク語[2]、ケルト語派、フランス語、デンマーク語、アルバニア語、グルジア語などに二十進法が残っている。どれも、202 を表す数詞がなく、100 を表す数詞があるので、完全な二十進法ではなくなった。フランス語の数詞は 30 から 59 までは十進法だが、1 から 19 まで、そして 60 からは 二十進法であって、80 を quatre-vingts すなわち 4×20 と表現し、90 を quatre-vingt-dix すなわち 4×20 + 10 と表現する。ただし、スイスとベルギーのフランス語は十進法である（フランス語の数詞を参照）。デンマーク語では 60 を tres というが、これは tresindstyve すなわち 3×20 の略である。英語では、20 を表す古風な語 score があり、threescore (3×20)、fourscore (4×20) などの複合語がある。ゲティスバーグ演説の先頭が"Four score and seven years ago"で始まっている。

インド・ヨーロッパ語族には 11 から 19 までと 21 以上とで異なる語構成を持つ言語が少なくない。例えば英語では fifteen (5 + 10) に対して twenty-five (20 + 5)、ドイツ語では fünfzehn (5 + 10) に対して fünfundzwanzig (5 と 20) と呼ぶ。

アフリカではヨルバ語が減算を含む二十進法で知られている。

ニューギニア島は最も言語密度の高い地域として知られ、エスノローグには 1071 個の言語が記されている[3][4]。このため命数法も多様で、アランブラック語 (Alamblak) など、二十進法の言語が存在する。

また、20 を意味する語が他の 10 の倍数と異なる語構成を持つ言語がある。例えば日本語では 30 （みそ）から 90 （ここのそ）までは接尾辞「そ」が付くが、20 は「はた」と呼ぶ。20 歳、30 歳はそれぞれ「はたち」、「みそじ」である。上海語でも 30 以上は普通話と同じく「三十」から「九十」を用いるが、20 だけは「廿」を用いる。

以下に、ナワトル語とバスク語の数詞を示す。前者は五進法、後者は十進法を内部に含んでいる。

数 ナワトル語 バスク語
1 cë bat
2 öme bi
3 ëyi hiru
4 nähui lau
5 mäcuïlli bost
6 chicuacë sei
7 chicöme zazpi
8 chicuëyi zortzi
9 chiucnähui bederatzi
10 mahtlactli hamar
11 mahtlactli-on-cë hamaika
12 mahtlactli-om-öme hamabi
13 mahtlactli-om-ëyi hamairu
14 mahtlactli-on-nähui hamalau
15 caxtölli hamabost
16 caxtölli-on-cë hamasei
17 caxtölli-om-öme hamazazpi
18 caxtölli-om-ëyi hemezortzi
19 caxtölli-on-nähui hemeretzi
20 cem-pöhualli hogei
21 cem-pöhualli-on-cë hogei ta bat
40 öm-pöhualli berrogei

単位系 編集

二十進法の単位は散発的に使われる。単位系では、数を十進法で 9, 10, 11 と表記し、20 や 400 に至ると桁ではなく単位を繰り上げる例が多い。

ヤード・ポンド法において、1 トンは 20 ハンドレッドウェイト、1 トロイオンスは 20 ペニーウェイト、1 パイントは 20 液量オンスである。

同じく、イギリスでは、1971年2月15日に通貨が十進法に変わる前は、12→144 の十二進法と、20→400 の二十進法の組み合わせであった。この制度では、1 ポンドは 20 シリングであった。個数においても、二十進法の単位で「スコア」(20個)がある。20 は 5×4 であり、1 とその数以外の約数が 2, 4, 5, 10 と計 4 個あり、特に四分割と五分割に便利であることも、二十進法の単位が使用される一因にもなっている。対する 10 の約数は、2 と 5 の計 2 個しかない。

参考文献 編集

  1. ^ Jordan, David K., Inadequate Nahuatl Reference Grammar, http://weber.ucsd.edu/~dkjordan/nahuatl/nahugram.html 2007年12月18日閲覧。 
  2. ^ Center for Basque Studies, ed., Basque Language Lesson 3, University of Nevada, Reno, http://basque.unr.edu/07/7.4.1t/7.4.4.4.vocabulary3.htm 2007年12月18日閲覧。 
  3. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Languages of Papua New Guinea”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), Dallas, Tex.: SIL International, http://www.ethnologue.com/show_country.asp?name=PG 2008年5月3日閲覧。 
  4. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Languages of Indonesia (Papua)”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), Dallas, Tex.: SIL International, オリジナルの2009年1月6日時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20090106155024/http://www.ethnologue.com/show_country.asp?name=IDP 2008年5月3日閲覧。 

関連項目 編集

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